[논문 리뷰] Pointwise convergence along cubes for measure preserving systems

Idris Assani|ArXiv.org|2003. 11. 17.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비가환 변환이 있는 측도를 보존하는 시스템에서 입자들의 입자 평균이 거의 확실히 수렴함을 확립한다. 세 개의 유계 함수와 비가환 측도를 보존하는 변환 $T_1, T_2, T_3$에 대해 평균 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^{n+m}x)$ 는 거의 확실히 수렴하며, 약혼합 조건 하에서 일반화로 $2^k - 1$ 개의 함수로 확장된다. 주요 결과는 히친킨의 재귀성 정리를 확장하고, 약혼합 시스템에서 복귀 시간의 심티틱성(정칙성)을 규명한다.

ABSTRACT

Let $(X, \mathcal{B}, μ)$ be a probability measure space and $T_1$, $T_2$, $T_3$ three not necessarily commuting measure preserving transformations on $(X, \mathcal{B}, μ)$. We prove that for all bounded functions $f_1$, $f_2$, $f_3$ the averages $$\frac{1}{N^2}\sum_{n, m =1}^N f_1(T_1^nx)f_2(T_2^mx)f_3(T_3^{n+m}x)$$ converges a.e. Generalizations to averages of $2^k -1$ functions are also given for not necessarily commuting weakly mixing systems.

연구 동기 및 목표

• 다중선형 평균에서 비가환 측도를 보존하는 변환으로 점별 에르고딕 정리의 확장을 이루는 것.
• 변환이 비가환일 경우 입자 평균의 점별 수렴이 $2^k - 1$ 개의 함수에 대해 성립하는지 조사하는 것.
• 히친킨의 재귀성 정리를 비가환 변환이 있는 시스템으로 일반화하는 것.
• 다중 에르고딕 평균을 사용하여 약혼합 시스템에서 복귀 시간의 심티틱성을 규명하는 것.

제안 방법

• 레마 1에 의한 새로운 $L^2$ 유형 부등식을 사용하여 지수 합과 삼각 다항식의 최댓값을 통한 평균의 $L^2$ 노름을 유 bounds한다.
• 평균 에르고딕 정리와 조건부 기대값 기법을 적용하여 함수를 불변 부분과 진동 부분으로 분해한다.
• 평균을 조건부 기대값의 곱과 오차 항의 곱으로 분해하고, 오차 항이 $L^2$에서 0으로 수렴함을 보여준다.
• $\mathbb{Z}^k$에서 입자들의 구조를 이용하여 중첩된 이동을 가진 $2^k - 1$ 개의 함수에 대한 다중선형 평균을 정의한다.
• 스펙트럼 방법과 수직성 조건을 적용하여 변환이 약혼합일 경우 평균이 적분의 곱으로 수렴함을 보여준다.
• 만약 어떤 함수가 상수의 수직보완부($\mathbb{C}^\perp$)에 속해 있다면 평균이 0으로 수렴함을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 측도를 보존하는 변환에 대해 입자 평균의 점별 수렴이 입자들에 대해 성립하는가?
• RQ2 변환이 비가환일 경우 $2^k - 1$ 개의 함수에 대해 수렴 결과를 $k > 2$로 확장할 수 있는가?
• RQ3 비가환 $T_1, T_2, T_3$ 하에서 유계 함수에 대해 평균 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^{n+m}x)$ 의 극한은 무엇인가?
• RQ4 $2^k - 1$ 개의 함수 평균이 적분의 곱으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 양의 측도를 가진 집합으로의 복귀 시간 집합은 약혼합 시스템에서 심티틱한가?

주요 결과

• 모든 유계 함수 $f_1, f_2, f_3$ 와 비가환 측도를 보존하는 변환 $T_1, T_2, T_3$ 에 대해 평균 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^{n+m}x)$ 는 거의 확실히 수렴한다.
• 약혼합 시스템에서는 $k$-차원 입자에 따라 $2^k - 1$ 개의 유계 함수의 평균이 거의 확실히 그 적분의 곱으로 수렴한다.
• 평균 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m=1}^N \mathbf{1}_A(T_1^n x)\mathbf{1}_A(T_2^{n+m}x)$ 의 극한은 $\mathbb{E}(\mathbf{1}_A, \mathcal{I}_1)(x)\mathbb{E}(\mathbf{1}_A, \mathcal{I}_2)(x)$ 이며, 히친킨의 재귀성 정리를 확장한다.
• $\mathcal{I}_1 \subset \mathcal{I}_2$ 또는 $\mathcal{I}_2 \subset \mathcal{I}_1$ 이면, 측도 평균의 극한은 $\geq \mu(A)^3$ 를 만족하며, 재귀 부등식을 일반화한다.
• 약혼합 시스템에서는 $\lambda < 1$ 인 임의의 $\lambda$ 에 대해, 함수의 곱이 $\lambda \mu(A)^{2^k}$ 를 초과하는 $k$-튜플 $(n_1, \dots, n_k)$ 의 집합은 심티틱하다.