[논문 리뷰] Pointwise convergence of multiple ergodic averages and strictly ergodic models

Wen Huang, Song Shao외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 23.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 21인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 엄격한 에르고딕 모델을 구성함으로써 에르고딕 시스템에서 다중 에르고딕 평균의 점별 수렴을 확립한다. 이를 통해 임의의 에르고딕 시스템과 유계 관측량에 대해, 두 차원 격자 위의 평균이 거의 확실히 상수로 수렴함을 증명한다. 또한, 거리적 시스템에서의 거의 확실한 수렴 문제를 해결하여, 다항식 궤도를 따라 다중 에르고딕 평균이 거의 확실히 수렴함을 보이며, 이는 곱 시스템에서 대각선 점의 궤도 폐쇄에 지지되는 불변 측도를 사용한다.

ABSTRACT

By building some suitable strictly ergodic models, we prove that for an ergodic system $(X,\mathcal{X},μ, T)$, $d\in{\mathbb N}$, $f_1, \ldots, f_d \in L^{\infty}(μ)$, the averages $$\frac{1}{N^2} \sum_{(n,m)\in [0,N-1]^2} f_1(T^nx)f_2(T^{n+m}x)\ldots f_d(T^{n+(d-1)m}x) $$ converge $μ$ a.e. Deriving some results from the construction, for distal systems we answer positively the question if the multiple ergodic averages converge a.e. That is, we show that if $(X,\mathcal{X},μ, T)$ is an ergodic distal system, and $f_1, \ldots, f_d \in L^{\infty}(μ)$, then multiple ergodic averages $$\frac 1 N\sum_{n=0}^{N-1}f_1(T^nx)\ldots f_d(T^{dn}x) $$ converge $μ$ a.e.

연구 동기 및 목표

• 에르고딕 시스템에서 형태 $\frac{1}{N^2}\sum_{(n,m)\in[0,N-1]^2} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{n+(d-1)m}x)$ 의 다중 에르고딕 평균의 점별 수렴을 확립한다.
• 에르고딕 시스템에 대해 $\langle \tau_d(T), \sigma_d(T) \rangle$ 작용 하에서 대각선 점의 궤도 폐쇄가 엄격한 에르고딕인 엄격한 에르고딕 위상 모델을 구성한다.
• 에르고딕 거리적 시스템 클래스에서 다중 에르고딕 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{dn}x)$ 의 거의 확실한 수렴 문제를 해결한다.
• 측도 $\mu$-almost everywhere $x$ 에 대해 $X^d$ 위의 확률 측도 $\{\mu_x^{(d)}\}$ 의 가족을 구성하여, 평균이 $L^2(\mu)$ 에서 수렴하고, 이러한 측도의 사영이 $\mu$ 에 대해 절대 연속이 되도록 한다.

제안 방법

• 모든 에르고딕 측도 보존 시스템 $(X, \mathcal{X}, \mu, T)$ 에 대해 엄격한 에르고딕 위상 모델 $(\hat{X}, \hat{T})$ 를 구성하여, $\langle \tau_d(\hat{T}), \sigma_d(\hat{T}) \rangle$ 작용 하에서 $(x,\ldots,x)$ 의 궤도 폐쇄 $N_d(\hat{X})$ 가 엄격한 에르고딕이 되도록 한다.
• 이러한 모델의 존재를 이용해 다중 에르고딕 평균 $\frac{1}{N^2}\sum_{(n,m)\in[0,N-1]^2} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{n+(d-1)m}x)$ 가 거의 확실히 상수로 수렴함을 도출한다.
• 거리적 시스템에서 다중 에르고딕 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{dn}x)$ 가 거의 확실히 수렴함을 보이기 위해, $T \times T^2 \times \cdots \times T^d$ 에서의 에르고딕 불변 측도 $\mu_x^{(d)}$ 의 가족을 구성한다.
• 측도 $\mu$-almost everywhere $x$ 에 대해, 측도 $\mu_x^{(d)}$ 가 $T \times T^2 \times \cdots \times T^d$ 에 대해 에르고딕임을 보이고, 사영 $(p_j)_*(\mu_x^{(d)})$ 가 $\mu$ 에 대해 절대 연속임을 보인다.
• 궤도를 따라의 경험 측도의 약한 수렴점들을 이용해 불변 측도 $\mu_x^{(d)}$ 를 구성하고, 연속 함수의 근사와 조건부 기대값의 사용을 통해 그 불변성을 증명한다.
• 푸르스텐베르크의 구조 정리를 적용하여 일반 수렴 문제를 거리적 시스템의 약한 혼합 확장으로 환원하고, 거리적 경우의 수렴을 핵심 단계로 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 에르고딕 시스템에서 다중 에르고딕 평균 $\frac{1}{N^2}\sum_{(n,m)\in[0,N-1]^2} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{n+(d-1)m}x)$ 이 거의 확실히 수렴하는가?
• RQ2 모든 에르고딕 시스템은 $\langle \tau_d(T), \sigma_d(T) \rangle$ 작용 하에서 대각선 점의 궤도 폐쇄가 엄격한 에르고딕이 되는 엄격한 에르고딕 위상 모델을 갖는가?
• RQ3 에르고딕 거리적 시스템에서 다중 에르고딕 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{dn}x)$ 가 거의 확실히 수렴하는가?
• RQ4 $\mu$-almost everywhere $x$ 에 대해 $T \times T^2 \times \cdots \times T^d$ 에 대해 불변인 $X^d$ 위의 측도 $\mu_x^{(d)}$ 를 연결할 수 있는가? 이 경우 평균이 $L^2(\mu)$ 에서 $\mu_x^{(d)}$ 에 대한 적분으로 수렴하는가?
• RQ5 모든 에르고딕 시스템에 대해, $\mu$-almost everywhere $x$ 에 대해 대각선 점이 $T \times \cdots \times T^d$ 에 대해 불변인 에르고딕 측도에 대해 일반적일 수 있는 위상 모델을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 에르고딕 시스템 $(X, \mathcal{X}, \mu, T)$ 와 $f_1, \ldots, f_d \in L^\infty(\mu)$ 에 대해, 평균 $\frac{1}{N^2}\sum_{(n,m)\in[0,N-1]^2} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{n+(d-1)m}x)$ 는 $\mu$-almost everywhere 상수로 수렴한다.
• 모든 에르고딕 시스템는 $\langle \tau_d(\hat{T}), \sigma_d(\hat{T}) \rangle$ 작용 하에서 대각선 점의 궤도 폐쇄 $N_d(\hat{X})$ 가 엄격한 에르고딕이 되는 엄격한 에르고딕 위상 모델 $(\hat{X}, \hat{T})$ 를 갖는다.
• 에르고딕 거리적 시스템에서 다중 에르고딕 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f_1(T^n x)\cdots f_d(T^{dn}x)$ 는 $\mu$-almost everywhere $L^2(\mu)$ 의 극한으로 수렴한다.
• $X^d$ 위의 확률 측도 $\{\mu_x^{(d)}\}_{x \in X}$ 의 가정이 존재하여, $\mu$-almost everywhere $x$ 에 대해 $\mu_x^{(d)}$ 가 $T \times T^2 \times \cdots \times T^d$ 에 대해 에르고딕이며, 평균이 $L^2(\mu)$ 에서 $\int_{X^d} f_1(x_1)\cdots f_d(x_d)\, d\mu_x^{(d)}(x_1,\ldots,x_d)$ 로 수렴한다.
• $\mu$-almost everywhere $x$ 에 대해, $1 \leq j \leq d$ 에 대해 사영 $(p_j)_*(\mu_x^{(d)})$ 는 $\mu$ 에 대해 절대 연속이다.
• 모든 에르고딕 시스템가 $T \times \cdots \times T^d$ 에 대해 불변인 에르고딕 측도에 대해 대각선 점이 일반적일 수 있는 위상 모델을 갖는다는 추측은 거의 확실한 수렴을 함의하며, 구성된 측도 $\mu_x^{(d)}$ 는 이러한 측도에 대한 자연스러운 후보이다.