[논문 리뷰] Pointwise Definable Models of Set Theory

Joel David Hamkins, David Linetsky외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 23.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 가산 Gődel-Bernays 집합론 모델(GBC)이 점별 정의 가능한(pointwise definable) 계급 강화 확장(class forcing extension)을 가짐을 증명한다. 즉, 모든 집합과 계급가 매개변수 없이 정의 가능하다는 뜻이다. 핵심 기여는 전체 유니버스를 단일의 일반적 객체로 코딩하는 강화 구조를 제안한 것으로, 모든 원소들이 고유하게 정의 가능하게 보장함으로써 매개변수 없이 모든 수학적 객체가 일阶논리로 명시적으로 이름을 가질 수 있는 모델를 실현한다.

ABSTRACT

A pointwise definable model is one in which every object is definable without parameters. In a model of set theory, this property strengthens V=HOD, but is not first-order expressible. Nevertheless, if ZFC is consistent, then there are continuum many pointwise definable models of ZFC. If there is a transitive model of ZFC, then there are continuum many pointwise definable transitive models of ZFC. What is more, every countable model of ZFC has a class forcing extension that is pointwise definable. Indeed, for the main contribution of this article, every countable model of Godel-Bernays set theory has a pointwise definable extension, in which every set and class is first-order definable without parameters.

연구 동기 및 목표

• 집합론의 모델에서 모든 수학적 객체가 매개변수 없이 정의 가능할 수 있는지 조사한다.
• 기하학적 차원에서의 수학-차트 논거(비가산 많은 실수, 그러나 가산 많은 정의 가능성)와 완전히 정의 가능한 유니버스의 가능성 사이의 기초적 갈등을 해결한다.
• 모든 객체가 일阶논리로 매개변수 없이 정의 가능한 ZFC 및 GBC의 점별 정의 가능한 모델을 구축한다.
• 해당 모델이 강화를 통해 유지되면서도 대규모 기저 성질을 유지할 수 있음을 보여준다.
• 모든 가산 GBC 모델이 정의 가능한 원소가 없는 상태에서 시작하더라도 점별 정의 가능한 확장을 가질 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 전체 유니버스를 단일 일반적 계급 Y에 코딩하는 점진적 Easton 지지 강화 반복(iteration)을 사용하여, 모든 집합과 계급가 Y로부터 정의 가능하도록 보장한다.
• 강화의 성질과 정의 가능성 보장을 위해 조건의 트리 구조를 점진적으로 정밀화하며, 밀도 있는 하위집합의 계층과 분할 노드를 사용한다.
• 모든 분지가 모든 Σn-정의 가능한 밀도 하위집합을 만족하도록 보장하기 위해, 조건의 트리에서 정의 가능한 사상 f를 구성한다.
• 강화 구조는 각 A_n(관심 있는 계급)이 짝수 분할 수준에서의 소속 관계에 따라 선택된 노드를 통해 일반적 객체 Y에 코딩되도록 설계되어 있다.
• 최종 모델 ⟨M, ∈, Y⟩는 ZFC(Y)를 만족하며, 모든 집합과 계급가 오직 Y로부터만 정의 가능하게 되어 점별 정의 가능한 모델이 된다.
• 강화는 새로운 집합을 추가하지 않으며 오직 하나의 일반적 계급만 추가하므로 대규모 기저 성질을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZFC가 일관되다면, 집합론의 언어에서 모든 실수는 매개변수 없이 정의 가능할 수 있는가?
• RQ2 모든 가산 GBC 모델은 계급 강화를 통해 점별 정의 가능한 ZFC 모델로 확장될 수 있는가?
• RQ3 전체 유니버스를 코딩하는 일반적 계급을 추가함으로써 점별 정의 가능한 성질이 유지되는가?
• RQ4 가산 GBC 모델의 점별 정의 가능한 확장에서 대규모 기저 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ5 예를 들어 일반적 계급 Y와 같은 단일 매개변수를 사용하여 모든 집합과 계급를 균일하게 정의할 수 있는가?

주요 결과

• ZFC가 일관되다면, 연속체 수만큼의 점별 정의 가능한 ZFC 모델이 존재한다. 이는 전이적 모델들 역시 포함된다.
• 모든 가산 GBC 모델은 계급 강화 확장을 통해 점별 정의 가능한 모델로 확장 가능하며, 모든 집합과 계급가 매개변수 없이 정의 가능하다.
• 이 구조는 결과 모델의 모든 객체가 집합론의 일阶논리 공식으로 고유하게 정의 가능하도록 보장한다.
• 강화 과정은 기저 모델의 표준 대규모 기저 성질을 유지한다.
• 모델는 V = HOD를 만족하며 점별 정의 가능하다. 이는 수학-차트 논거가 이러한 모델에서는 실패함을 보여준다.
• 일반적 계급 Y는 전체 유니버스를 코딩하여 모든 집합과 계급가 오직 Y로부터만 정의 가능하게 하며, 결과적으로 모델는 점별 정의 가능하다.