[논문 리뷰] Pointwise double recurrence and nilsequences

Idris Assani|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 22.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 임의의 측도를 유지하는 시스템과 유계 함수 $ f_1, f_2 $에 대해, $ c_n $이 임의의 $ k $-단계 nilsequence인 경우, 가중 이중 재귀 평균 $ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)c_n $가 거의 모든 $ x $에 대해 점근적으로 수렴함을 증명한다. 이 결과는 이중 재귀에 대한 Wiener-Wintner 정리의 일반화이자, Host-Kra-Ziegler 인자들의 수직 컴플리멘트와의 연결을 통해 Bourgain의 이중 재귀 정리에 nilsequence 가중치를 도입한 일반화를 이루고 있다.

ABSTRACT

Consider a system $(X, \mathcal{F}, μ, T)$, bounded functions $f_1, f_2 \in L^\infty(μ)$ and $a,b \in \ZZ.$ We show that there exists a set of full measure $X_{f_1, f_2}$ in $X$ such that for all $x \in X_{f_1, f_2}$ and for every nilsequence $b_n$ , the averages \[ \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)b_n \] converge. We will show that this can be deduced from the classical Wiener-Wintner theorem for the double recurrence theorem. Together with the past work on this subject, we will show that several statements regarding the extension of the double recurrence theorem are equivalent.

연구 동기 및 목표

• B. Weiss가 제기한, nilsequence 가중치를 갖는 J. Bourgain의 이중 재귀 정리의 일반화 문제를 해결하기 위해.
• 일반적인 측도를 유지하는 시스템에서 nilsequence로 가중된 이중 재귀 평균의 점근적 수렴성을 확립하기 위해.
• 모든 nilsequence에 대해 수렴이 거의 확실히 성립하며, 이는 Host-Kra-Ziegler 인자들의 구조와 연결됨을 보여주기 위해.
• 이전의 Wiener-Wintner 및 다항 이중 재귀 결과를 nilsequence의 맥락으로 통합하고 일반화하기 위해.
• 한 함수가 $ k $-번째 Host-Kra-Ziegler 인자의 수직 컴플리멘트에 속할 경우, 수렴이 균일하게 0으로 수렴함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 단일 가중치 평균을 다루기 위한 기본 도구로 고전적 Wiener-Wintner 에르고딕 정리를 사용한다.
• 가중 평균을 제어하기 위한 핵심 요소로 Bourgain의 이중 재귀 정리를 적용한다.
• 에르고딕 시스템에서의 기본 nilsequence의 균일한 극한으로 정의된 nilsequence 개념을 사용하여 지수 가중치 $ e^{2\pi i p(n)} $의 일반화를 이룬다.
• 주파수나 다항식에 대한 Suprema를 다루기 위해 균일한 Wiener-Wintner 정리 및 그 확장들을 적용한다.
• 변형된 van der Corput 보조정리와 이중 평균에 대한 $ L^2 $-유형 추정식을 사용하여 이동량 $ h_1, h_2, h_3 $을 포함한 다중 평균의 limsup를 제어한다.
• 열린 수렴 정리와 근사 방법론을 사용하여 연속 함수에서 $ L^\infty $ 함수로의 결과 확장을 밀도를 통해 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $ c_n $이 nilsequence일 경우, 이중 재귀 평균 $ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)c_n $이 거의 모든 $ x $에 대해 점근적으로 수렴하는가?
• RQ2 이러한 수렴 결과는 지수 및 다항 가중치를 초월하여 일반 nilsequence로까지 확장 가능한가?
• RQ3 Host-Kra-Ziegler 인자가 수렴의 균일성 보장에 어떻게 기여하는가? 특히 한 함수가 그 인자의 수직 컴플리멘트에 속할 경우.
• RQ4 nilsystem의 구조는 nilsequence 가중치를 갖는 다중 에르고딕 평균의 수렴성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 수렴 결과는 $ L^\infty $에서의 근사에 대해 안정적인가? 일반적인 유계 함수로까지 확장 가능한가?

주요 결과

• 임의의 시스템 $ (X,\mathcal{F},\mu,T) $, 유계 함수 $ f_1, f_2 \in L^\infty(\mu) $, 임의의 $ k $-단계 nilsequence $ c_n $에 대해, 전체 측도를 갖는 집합 $ X_{f_1,f_2} $가 존재하여 모든 $ x \in X_{f_1,f_2} $에서 평균 $ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)c_n $가 수렴한다.
• 만약 $ T $가 에르고딕이고 $ f_1 $ 또는 $ f_2 $가 $ k $-번째 Host-Kra-Ziegler 인자의 수직 컴플리멘트 $ \mathcal{Z}_k^\perp $에 속한다면, 모든 $ k $-단계 nilsequence에 대해 평균이 균일하게 0으로 수렴한다.
• 평균의 수렴은 이동량 $ h_1, h_2, h_3 $를 포함한 다중 에르고딕 평균으로의 분해를 통해 확립되며, 이어 $ L^2 $-추정과 limsup 제어가 이루어진다.
• 이 방법은 오차 항의 성장률을 제어하는 추정식 $ \int\int \limsup_H \sup_t \left| \frac{1}{H}\sum_{h_1=0}^{H-1} V_1(T^{an}x)V_2(T^{bn}y)e^{2\pi i h_1 t} \right|^2 d\mu\otimes\mu \lesssim_{a,b} \min(\|V_1\|_3, \|V_2\|_3)^2 $를 도출한다.
• $ k \geq 3 $인 경우, 귀납법을 사용하여 삼중 평균의 limsup가 $ \min(\|g_1\|_4, \|g_2\|_4) $로 유계임을 보이고, $ g_1 $ 또는 $ g_2 $가 $ \mathcal{Z}_{k-1}^\perp $에 속할 경우 0으로 수렴함을 보인다.
• 연속 함수에 대한 수렴 결과가 $ L^\infty $-유계 케이스로 확장 가능하므로, 일반적인 $ L^\infty $ 함수에 대해서도 결과가 성립한다.