[논문 리뷰] Poisson approximation for the number of visits to balls in nonuniformly hyperbolic dynamical systems

Jean-René Chazottes, Pierre Collet|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비균일하게 혼돈적인 동역계에서, 지수 꼬리를 가진 복귀 시간과 일차원 불안정 다변수를 갖는 Young 타워로 모델링된 작은 구의 방문 횟수에 대한 포isson 근사 결과를 수립한다. 지수적 감쇠 성질과 Besicovitch 덮개를 통한 기하학적 추정을 이용하여, 일반적인 중심에 대해 시간 $ t / \mu(B_r(x)) $까지의 방문 횟수가 명시적인 오차 한계 $ r^a $를 갖는 포isson 분포로 수렴함을 증명한다. 또한 '나쁜' 중심들의 집합은 $ \mu $-측도 $ \leq C r^b $를 갖는다. 이 결과는 Hénon 혼돈자와 산산이 흩어지는 보일러드와 같은 시스템에 적용 가능하다.

ABSTRACT

We study the number of visits to balls B_r(x), up to time t/mu(B_r(x)), for a class of non-uniformly hyperbolic dynamical systems, where mu is the SRB measure. Outside a set of `bad' centers x, we prove that this number is approximately Poissonnian with a controlled error term. In particular, when r-->0, we get convergence to the Poisson law for a set of centers of mu-measure one. Our theorem applies for instance to the Hénon attractor and, more generally, to systems modelled by a Young tower whose return-time function has a exponential tail and with one-dimensional unstable manifolds. Along the way, we prove an abstract Poisson approximation result of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 비균일하게 혼돈적인 동역계에서 작은 구 $ B_r(x) $의 방문 횟수에 대한 포isson 근사 결과를 수립하기 위해.
• 일반적인 중심 $ x $에 대해 포isson 근사의 오차를 명시적인 상한으로 정량화하기 위해, 공구 반지름 $ r $ 에 따라 표현된 오차 상한을 제공하기 위해.
• 포isson 근사가 실패하는 '나쁜' 중심들의 집합 $ \widehat{\mathcal{M}}_r $ 이며, $ \mu(\widehat{\mathcal{M}}_r) \leq C r^b $ 를 만족시키는 집합을 규명하기 위해.
• 실제로 실린더 집합 외에도 기하학적 집합(예: 구)에 대해 포isson 근사 결과를 확장하기 위해, 특히 다차원 비균일하게 혼돈적인 동역계에 적용하기 위해.
• 강한 혼합 성질을 갖는 시스템에 적용 가능한, 제어 가능한 오차 항을 갖는 일반적인 추상적 포isson 근사 결과를 제공하기 위해.

제안 방법

• 지수 꼬리 복귀 시간과 일차원 불안정 다변수를 갖는 비균일하게 혼돈적인 시스템을 모델링하기 위해 Young 타워 구조를 사용하기 위해.
• 혼합 행동을 제어하고 과거 방문의 기억을 제한하기 위해 지수 감쇠 성질을 적용하기 위해.
• 방문 동역학에서 기하학적 겹침을 제어하기 위해 Besicovitch 덮개 보조정리를 이용하여 구관의 측도를 추정하기 위해.
• 방문 횟수 분포와 포isson 법 사이의 총 변동 거리에 대한 추정을 통한 명시적 오차 상한을 유도하기 위해.
• 안정 다변수와 불안정 다변수를 따라 균일한 수축 및 확장 성질을 이용하여, 반복된 구의 영상과 그 이웃의 교차 수를 제한하기 위해.
• 잠재적 방문 전구를 위한 집합 $ \mathscr{V}_p(x,r) $ 을 구성하고, 그 측도를 제어하기 위해 $ \widetilde{\mathscr{C}}_{r,p\log\alpha/\log r}(x) $ 와 비교하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 감쇠 성질과 일차원 불안정 다변수를 갖는 비균일하게 혼돈적인 시스템의 어떤 클래스에서 작은 구의 방문 횟수가 포isson 분포로 수렴하는가?
• RQ2 방문 횟수 분포가 포isson 법으로 수렴하는 속도는 무엇이며, 이는 공구 반지름 $ r $ 에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 포isson 근사가 실패하는 '나쁜' 중심들의 집합 $ x $ 의 크기는 얼마나 되며, 이 집합은 정량적으로 제어할 수 있는가?
• RQ4 실린더 집합 외에도 기하학적 집합(예: 구)에 대해 포isson 근사 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ5 Besicovitch 덮개 보조정리와 같은 기하학적 및 측도 이론적 도구는 방문 횟수 통계의 명시적 오차 상한 유도에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 지수 꼬리 복귀 시간과 일차원 불안정 다변수를 갖는 Young 타워로 모델링된 비균일하게 혼돈적인 시스템의 일군의 클래스에 대해, 시간 $ \lfloor t / \mu(B_r(x)) \rfloor $ 까지의 $ B_r(x) $ 에 대한 방문 횟수는 모든 $ t > 0 $ 과 $ k \geq 0 $ 에 대해 오차 $ \leq C r^a $ 를 갖는 포isson 분포로 근사 가능하며, 이는 $ x \notin \widehat{\mathcal{M}}_r $ 인 경우에 성립한다.
• 나쁜 중심들의 집합 $ \widehat{\mathcal{M}}_r $ 는 $ \mu $-측도가 $ C r^b $ 이하로 유계이므로, 거의 모든 중심이 $ r \to 0 $ 의 극한에서 포isson 근사를 만족한다.
• $ r \to 0 $ 일 때, 방문 횟수 분포는 $ \mu $-거의 모든 중심 $ x $ 에 대해 포isson 법으로 수렴하며, Kac의 보조정리에서 유도된 히ュ리스틱 기대를 확인한다.
• 오차 상한 $ C r^a $ 는 명시적이며, 구관의 기하학적 추정과 방문 횟수 분포 및 포isson 법 사이의 총 변동 거리 추정에서 유래된다.
• 이 결과는 Hénon 혼돈자, 일차원 불안정 다변수를 갖는 Axiom A 혼돈자, 유한 영역을 갖는 산산이 흩어지는 보일러드와 같은 구체적인 시스템에 적용 가능하다.
• 지수 감쇠 성질과 Besicovitch 덮개 보조정리를 통한 기하학적 제어에 기반한 제어 가능한 오차를 갖는 추상적 포isson 근사 결과가 수립되었으며, 이는 별도의 관심사로도 가치가 있다.