[논문 리뷰] Poisson brackets with divergence terms in field theories: two examples

L. A. Dickey|ArXiv.org|1997. 03. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 발산 항이 브라켓의 밀도에 영향을 주는 장 이론에서의 포아송 브라켓을 조사한다. 이는 표준 자코비 항등식을 위반하는 삼차형식을 초래하며, 이는 경계항이 있는 장 이론에서 비표준 포아송 구조를 이해하는 데 프레임워크를 제공한다. 두 개의 통합 가능 체계 예시를 통해 디키는 삼차형식이 고차수 자코비 항등식을 만족함을 보여주며, 이는 경계항이 있는 장 이론에서의 비표준 포아송 브라켓을 이해하는 데 기여한다.

ABSTRACT

In field theories one often works with the functionals which are integrals of some densities. These densities are defined up to divergence terms (boundary terms). A Poisson bracket of two functionals is also a functional, i.e., an integral of a density. Suppose the divergence term in the density of the Poisson bracket be fixed so that it becomes a bilinear form of densities of two functionals. Then the left-hand side of the Jacobi identity written in terms of densities is not necessarily zero but a divergence of a trilinear form. The question is: what can be said about this trilinear form, what kind of a higher Jacobi identity (involving four fields) it enjoys? Two examples whose origin is the theory of integrable systems are given.

연구 동기 및 목표

• 함수기반 장 이론에서의 포아송 브라켓에 대한 발산 항의 영향을 이해하는 것.
• 브라켓의 밀도에 발산 항이 고정될 경우 자코비 항등식이 어떻게 수정되는지 분석하는 것.
• 표준 자코비 항등식의 실패로 인해 유도된 삼차형식의 대수적 구조를 규명하는 것.
• 이 삼차형식이 만족하는 고차수 자코비 항등식(4개의 장을 포함함)을 조사하는 것.
• 이러한 구조가 자연스럽게 발생하는 구체적인 통합 가능 체계의 예를 제공하는 것.

제안 방법

• 밀도가 발산 항까지 정의된 함수기반을 고려하며, 이는 적분 형태로 정의된다.
• 두 함수기반의 포아송 브라켓에서 발산 항을 고정하여 밀도에 대한 이항형식으로 만든다.
• 자코비 항등식의 왼쪽 항을 장의 삼차형식의 발산으로 표현한다.
• 통합 가능 장 이론의 구조를 이용하여 이 삼차형식의 대수적 성질을 유도한다.
• 일반적 프레임워크를 설명하기 위해 통합 가능 이론의 두 구체적 예를 구성한다.
• 분석은 삼차형식이 만족하는 일致 조건과 고차수 자코비 항등식에 집중한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 발산 항이 포아송 브라켓에 포함될 경우 자코비 항등식에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 표준 자코비 항등식의 실패로 유도된 삼차형식이 가지는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 이 삼차형식이 만족하는 고차수 항등식(4개의 장을 포함함)은 무엇인가?
• RQ4 이러한 구조는 알려진 통합 가능 장 이론에서 실현될 수 있는가?
• RQ5 경계항은 장 이론에서 일致한 포아송 브라켓을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 고정된 발산 항이 포함된 포아송 브라켓의 자코비 항등식은 항등적으로 0이 아니며, 삼차형식의 발산으로 표현된다.
• 이 삼차형식은 4개의 장을 포함하는 고차수 자코비 항등식을 만족하며, 표준 자코비 관계를 일반화한다.
• 삼차형식의 구조는 통합 가능 체계의 대수적 프레임워크와 일致한다.
• 이 형식이 적용되는 두 개의 명시적 통합 가능 장 이론의 예가 구성된다.
• 브라켓의 발산 항은 함수기반의 밀도에 대한 이항형식으로 고정되어 있으며, 이는 브라켓 정의의 일致성을 보장한다.
• 결과적으로 이러한 포아송 브라켓은 여전히 수정된 자코비 조건 하에서 일치하고 닫혀 있음을 보여준다.