[논문 리뷰] Poisson cohomology and quantization

Johannes Huebschmann|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 15.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 30인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Kähler 미분의 모듈로 (R,A)-Lie 대수의 구조를 구성함으로써, 가환환 R 위의 Poisson 대수의 Poisson 코hom로지와 호모로지에 대한 통합 대수적 프레임워크를 제안한다. 이는 고전적 Poisson 코호모로지와 Poisson 다양체의 표준 호모로지를 일반화하며, 미분 연산자 대수 위에서 Ext 및 Tor 군으로서 이를 식별하고, 일반화된 심플렉틱 형식 클래스를 일반화하는 닫힌 2형식(즉, Poisson 클래스)을 도입하여 양자 이론에서의 양자화에 필수적인 선형 표현을 구축한다.

ABSTRACT

Let R be a commutative ring, and let A be a Poisson algebra over R. We construct an (R,A)-Lie algebra structure, in the sense of Rinehart, on the A-module of Kähler differentials of A depending naturally on A and the Poisson bracket. This gives rise to suitable algebraic notions of Poisson homology and cohomology for an arbitrary Poisson algebra. A geometric version thereof includes the canonical homology and Poisson cohomology of a Poisson manifold introduced by Brylinski, Koszul, and Lichnerowicz, and absorbes the latter in standard homological algebra by expressing them as Tor and Ext groups, respectively, over a suitable algebra of differential operators. Furthermore, the Poisson structure determines a closed 2-form in the complex computing Poisson cohomology. This 2-form generalizes the 2-form defining a symplectic structure on a smooth manifold; moreover, the class of that 2-form in Poisson cohomology generalizes the class in de Rham cohomology of a symplectic structure on a smooth manifold and appears as a crucial ingredient for the construction of suitable linear representations of A, viewed as a Lie algebra; representations of this kind occur in quantum theory. To describe this class and to construct the representations, we relate formal concepts of connection and curvature generalizing the classical ones with extensions of Lie algebras. We illustrate our results with a number of examples of Poisson algebras and with a quantization procedure for a relativistic particle with zero rest mass and spin zero.

연구 동기 및 목표

• 가환환 R 위의 임의의 Poisson 대수에 대한 Poisson 코호모로지와 호모로지의 일반 대수적 이론을 개발하기 위해.
• 미분 연산자 대수 위에서 호모로지 대수학을 사용하여 Poisson 다양체의 표준 호모로지와 Poisson 코호모로지의 개념을 일반화하기 위해.
• Poisson 코호모로지에 속하는 닫힌 2형식인 Poisson 클래스를 de Rham 형식의 심플렉틱 형식 클래스로 일반화하기 위해.
• 일반화된 곡률과 접속 개념을 사용하여 Poisson 대수를 Lie 대수로 본 선형 표현을 구축하기 위해.
• 상대성 이론적 스핀 0 입자를 갖는 양자화 절차에 이 프레임워크를 적용하기 위해.

제안 방법

• Poisson 괄호를 사용하여 A-모듈로서의 Kähler 미분 D_A 위에 (R,A)-Lie 대수의 구조를 구성하기 위해.
• Poisson 코호모로지의 정의를 (R,A)-Lie 대수 D_{{·,·}} 위의 대칭적이지 않은 A-다중선형 형식의 복합체의 호모로지로 정의하기 위해.
• Poisson 코호모로지 복합체에 속하는 표준적인 닫힌 2형식 π_{{·,·}}를 도입하여 Poisson 클래스를 표현하기 위해.
• 일반화된 접속과 곡률 개념을 통해 Lie 대수의 확장과 Poisson 클래스를 연결하기 위해.
• Poisson 클래스를 사용하여 Poisson 대수를 Lie 대수로 본 선형 표현을 구축하기 위해.
• 이 프레임워크를 상대성 이론적 입자 모델에 적용하여, 파동 함수의 힐버트 공간 위에서 특정 표현을 통해 양자 관측량을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가환환 위의 임의의 Poisson 대수에 대해 Poisson 코호모로지와 호모로지를 어떻게 대수적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 Poisson 코호모로지에서 Poisson 클래스는 de Rham 코호모로지의 심플렉틱 형식 클래스를 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 Lie 대수의 확장에서 일반화된 접속과 곡률을 사용하여 Poisson 대수의 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 프레임워크는 고전적 Poisson 코호모로지와 미분 연산자 대수 위에서의 표준 호모로지 대수학을 어떻게 통합하는가?
• RQ5 이 대수적 구조는 스핀 0의 질량 0 상대성 입자와 같은 물리적으로 의미 있는 시스템의 양자화를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• Poisson 대수 (A, {·,·})의 Poisson 코호모로지는 U(A,L)의 Ext^*_{U(A,L)}(A,A)와 동형이며, 여기서 U(A,L)는 (R,A)-Lie 대수 L = D_{{·,·}}에 관련된 미분 연산자 대수의 보편 대수이다.
• Poisson 코호모로지 H^2_{Poisson}(A, {·,·}; A)에 속하는 Poisson 클래스 [π_{{·,·}}]는 다양체 위의 심플렉틱 형식의 de Rham 클래스 [σ]를 일반화한다.
• 닫힌 2형식 π_{{·,·}}는 Poisson 괄호로부터 자연스럽게 구성되며, 코호모로지 복합체 내에서 곡률 유사 불변량을 정의한다.
• Poisson 클래스와 일반화된 접속 이론을 사용하여 Poisson 대수를 Lie 대수로 본 선형 표현이 구성된다.
• 스핀 0이고 질량 0인 상대성 입자에 대해, 이 구성은 힐버트 공간 위의 자기수반 연산자를 유도하며, 완비된 해밀턴 장에 의해 유니터리 진동이 유도된다.
• 부스트 및 각운동량 성분과 같은 관측량은 ĥa[ϕ] = [â e^{−i⟨·,·⟩}] 공식을 통해 양자화되며, 여기서 â는 Poisson 괄호로부터 유도된 미분 연산자이다.