[논문 리뷰] Poisson law for some nonuniformly hyperbolic dynamical systems with polynomial rate of mixing

Françoise Pène, Benoît Saussol|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비균일하게 혼돈적인 동역학계에서 상관관계의 다항수렴을 보이는 작은 구역의 방문 횟수에 대한 포아송 극한 법칙을 수립한다. 다항 꼬리 분포를 갖는 금속-마르코프-영 타워와 혼합 추정치를 활용하여, 저자들은 $ \mu $-거의 모든 $ x $ 에 대해 $ r \to 0 $ 일 때 정규화된 $ B(x,r) $ 에 대한 방문 횟수의 분포가 포아송 분포로 수렴함을 증명한다. 이는 체계의 불변 측도에 대한 미약한 기하학적 및 측도 이론적 가정 하에 성립한다.

ABSTRACT

We consider some nonuniformly hyperbolic invertible dynamical systems which are modeled by a Gibbs-Markov-Young tower. We assume a polynomial tail for the inducing time and a polynomial control of hyperbolicity, as introduced by Alves, Pinheiro and Azevedo. These systems admit a physical measure with polynomial rate of mixing. In this paper we prove that the distribution of the number of visits to a ball B(x, r) converges to a Poisson distribution as the radius r $\ o$ 0 and after suitable normalization.

연구 동기 및 목표

• 비균일하게 혼돈적인 동역학계에서 다항 상관관계 감쇠를 갖는 작은 구역의 방문 횟수에 대한 포아송 극한 법칙을 수립하기 위해.
• 이전의 동역학계에서의 포아송 법칙 결과를 임의로 느린 다항 혼합 속도를 갖는 설정으로 확장하기 위해.
• 합계가 가능한 상관관계 감쇠가 없을 경우 재귀율 추정치와 혼합 제어를 통한 구역의 근사치를 사용하여 이를 극복하기 위해.
• 특히 불변 측도가 절대 연속일 경우, 구역의 코로나에 대한 기하학적 가정을 최소화하면서 포아송 극한이 성립함을 검증하기 위해.

제안 방법

• 재귀 시간의 다항 꼬리 분포와 비선형성의 다항 제어를 갖는 금속-마르코프-영 타워를 사용하여 체계를 모델링하기 위해.
• 다음과 같은 재귀율 추정치를 사용: $ \mu $-거의 모든 $ x $ 에 대해 $ B(x,r) $ 에 대한 첫 번째 재귀 시간은 $ r^{-\dim_H \mu} $ 비례함.
• 구역으로 정의된 집합에 대한 혼합 추정치를 확립하기 위해, 구역의 코로나 측도를 제어하고 조건 (3)에 따라 $ \mu(B(x,r+s)\setminus B(x,r)) $ 의 성장률을 제어함.
• 상관관계 감쇠와 짧은 재귀 제어에 기반한 추상적 포아송 근사 결과를 적용하여, 짧은 재귀의 세부 분석을 재귀율 추론으로 대체함.
• 밀도의 허들러 연속성과 $ L^p $-적분 가능성 조건을 사용하여, 절대 연속 측도에 대해 조건 (3)이 성립함을 입증함. 이때 $ a=1/q $, $ b=(1+d(q-1))/q $.
• 코로나 측도가 너무 빠르게 증가하지 않도록 보장하기 위해 $ \alpha \dim_H \mu > b/a $ 라는 조건 하에 포아송 극한이 성립함을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일하게 혼돈적인 시스템에서 다항 혼합을 갖는 작은 구역의 방문 횟수는 반경이 0으로 수렴함에 따라 포아송 분포로 수렴하는가?
• RQ2 상관관계 감쇠가 다항적이고 매우 느릴 경우에도 포아송 극한을 확립할 수 있는가?
• RQ3 오빗의 작은 구역에 대한 재귀율이 이러한 시스템에서 포아송 극한의 타당성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 불변 측도에 대한 기하학적 및 측도 이론적 조건은 포아송 극한이 성립하도록 보장하는가?

주요 결과

• $ \mu $-거의 모든 $ x $ 에 대해, $ B(x,r) $ 에 대한 방문 횟수를 $ \mu(B(x,r)) $ 로 정규화하면, $ r \to 0 $ 일 때 분포적으로 포아송 법칙으로 수렴한다.
• 코로나 측도가 $ \mu(B(x,r+s)\setminus B(x,r)) \leq C_0 s^a r^{-b} \mu(B(x,2r)) $ 를 만족하고 $ \alpha \dim_H \mu > b/a $ 라는 조건이 성립할 경우 포아송 극한이 성립한다.
• 재귀율은 $ \mu $-거의 모든 $ x $ 에 대해 $ \min\{n \geq 1 : d(f^n x, x) < r\} \approx r^{-\dim_H \mu} $ 라고 근사되며, 이는 짧은 재귀의 세부 분석을 피할 수 있도록 한다.
• 절대 연속 불변 측도를 갖는 시스템에서는 밀도가 연속일 경우 $ a=1 $, $ b=1 $ 이며, $ L^p $ 에 속할 경우 $ a=1/q $, $ b=(1+d(q-1))/q $ 라고 성립한다.
• 이 결과는 불변 측도가 절대 연속이고 혼합 속도가 다항적인 시스템, 예를 들어 스타디움 보일러드와 간헐성을 갖는 솔레노이드 맵 등에 적용 가능하다.