[논문 리뷰] Poisson reduction as a coisotropic intersection

Pavel Safronov|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 27.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 이동된 파울슨 대수에서 코이소트로픽 사상의 유도된 개념을 도입하여, 두 사상의 유도 교차가 한 단계 낮은 이동된 파울슨 구조를 가짐을 보여준다. 고전적 BRST 복합체와 코이소트로픽 교차를 계산하는 복합체 사이에 준동형을 수립하며, 브레이스 대수와 그 모듈러를 통해 양자화된 형태로 확장된다.

ABSTRACT

We give a definition of coisotropic morphisms of shifted Poisson (i.e. $P_n$) algebras which is a derived version of the classical notion of coisotropic submanifolds. Using this we prove that an intersection of coisotropic morphisms of shifted Poisson algebras carries a Poisson structure of shift one less. Using an interpretation of Hamiltonian spaces as coisotropic morphisms we show that the classical BRST complex computing derived Poisson reduction coincides with the complex computing coisotropic intersection. Moreover, this picture admits a quantum version using brace algebras and their modules: the quantum BRST complex is quasi-isomorphic to the complex computing tensor product of brace modules.

연구 동기 및 목표

• 이동된 파울슨 대수의 코이소트로픽 사상을 고전적 코이소트로픽 부분다양체의 유도 일반화로 정의하기 위해.
• 두 코이소트로픽 사상의 유도 교차가 한 단계 낮은 파울슨 구조를 지닌다는 것을 보여주기 위해.
• 유도 파울슨 환원을 위한 BRST 복합체와 코이소트로픽 교차를 계산하는 복합체 사이에 준동형을 수립하기 위해.
• 브레이스 대수와 그 모듈러를 사용하여 고전적 그림을 양자적 환경으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 코이소트로픽 구조를 $\mathbb{P}_{n+1}$-사상 $A \to \mathrm{Z}(B)$를 통해 모델링하며, 여기서 $\mathrm{Z}(B)$는 $B$의 유도 파울슨 중심이다.
• 코시울 듀얼리티를 사용하여 유도 텐서곱 $B_1 \otimes_A^\mathbb{L} B_2$를 반대 쪽에서 유도되지 않은 코텐서곱으로 연결한다.
• 바 복합체 구성법을 적용하여 $\mathbb{P}_{n+1}$-대수의 코이소트로픽 코대수를 정의하고, 여기에 유도된 $\mathbb{P}_n$-구조를 부여한다.
• 유도 중심 $\mathrm{Z}(B)$ 위의 쇼텐 브라켓을 사용하여 유도 중심 위에 명시적인 $\mathbb{P}_{n+1}$-구조를 정의한다.
• 해밀턴 환원에서의 유도 몫의 해법으로서 BRST 복합체를 구성하고, 이를 코이소트로픽 교차 복합체와 동일시한다.
• $\hbar=0$ 극한을 적용하여 바 복합체 위의 양자적 $\widehat{\mathbb{BD}}_0$-구조로부터 고전적 $\mathbb{P}_0$-구조를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코이소트로픽 부분다양체는 어떻게 이동된 파울슨 대수의 유도적 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 두 코이소트로픽 사상의 유도 교차는 어떤 구조를 상속하는가?
• RQ3 유도 파울슨 환원을 위한 BRST 복합체는 코이소트로픽 교차를 계산하는 복합체와 준동형인가?
• RQ4 브레이스 대수를 사용하여 고전적 코이소트로픽 교차 그림을 양자적 환경으로 올릴 수 있는가?
• RQ5 이동된 파울슨 구조의 맥락에서 파울슨 중심 구성법은 코시울 듀얼 코대수와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 두 코이소트로픽 사상 $A \to B_1$과 $A \to B_2$의 유도 교차 $B_1 \otimes_A^\mathbb{L} B_2$는 $A$가 $\mathbb{P}_{n+1}$-대수일 경우 호모토피 $\mathbb{P}_n$-구조를 지닌다.
• 자연스러운 사영 $B_1^{\mathrm{op}} \otimes B_2 \to B_1 \otimes_A^\mathbb{L} B_2$는 $\mathbb{P}_n$-사상이다.
• 해밀턴 환원을 위한 BRST 복합체는 코어 모멘트 맵 사상의 코이소트로픽 교차를 계산하는 복합체와 준동형이다.
• 양자 BRST 복합체는 $\mathbb{BD}_1$-대수 위의 브레이스 모듈의 텐서곱을 계산하는 복합체와 준동형이다.
• $\hbar=0$ 극한에서 두측 바 복합체 위의 $\widehat{\mathbb{BD}}_0$-구조는 정리 1.18에서의 고전적 $\widehat{\mathbb{P}}_0$-구조를 복원한다.
• $\mathrm{Z}(B)$의 구성법인 $\mathrm{Hom}(\mathrm{co}\mathbb{BD}_1(B), B)$의 $\mathbb{BD}_1$-구조에 의한 휘감김은 유도 파울슨 중심의 구체적 실현을 제공한다.