[논문 리뷰] Poisson stable solutions for stochastic differential equations with Lévy noise

Xin Liu, Zhenxin Liu|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 02.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 큰 점프를 가진 무한차원 Lévy 노이즈에 의해 구동되는 반선형 확률미분방정식에 대해 주기적, 거의주기적, Levitan 거의주기적 해를 포함한 Poisson 안정 해의 존재성과 전역 점근적 안정성을 확립한다. 비선형성, 확산 및 점프 계수에 대해 리프시츠 조건과 선형 성장 조건을 가정할 때, 저자들은 해가 계수의 Poisson 안정성을 물려받고 제곱평균 의미에서 전역적으로 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we use a unified framework to study Poisson stable (including stationary, periodic, quasi-periodic, almost periodic, almost automorphic, Birkhoff recurrent, almost recurrent in the sense of Bebutov, Levitan almost periodic, pseudo-periodic, pseudo-recurrent and Poisson stable) solutions for semilinear stochastic differential equations driven by infinite dimensional Lévy noise with large jumps. Under suitable conditions on drift, diffusion and jump coefficients, we prove that there exist solutions which inherit the Poisson stability of coefficients. Further we show that these solutions are globally asymptotically stable in square-mean sense. Finally, we illustrate our theoretical results by several examples.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 Lévy 노이즈를 가진 확률미분방정식에 대해 주기적, 거의주기적, 거의자기역행성, Levitan 거의주기적 해를 포함한 Poisson 안정 해의 존재성을 확립하기 위해.
• 계수가 재귀성을 보일 때, Lévy 노이즈의 큰 점프가 해의 Poisson 안정성에 영향을 줄 수 있는지 조사하기 위해.
• 해의 Poisson 안정성이 계수들 중에서 가장 약한 재귀 성질에 의해 결정됨을 증명하기 위해.
• 이러한 Poisson 안정 해에 대해 제곱평균 의미에서의 전역 점근적 안정성을 보여주기 위해.
• 기존의 가우시안 노이즈에 의해 구동되는 SDE에 대한 결과를 더 일반적인 경우인 점프를 포함한 Lévy 노이즈로 확장하기 위해.

제안 방법

• 다이나믹 시스템에서 재귀성을 분석하기 위한 B. A. Shcherbakov의 비교 가능(강한 비교 가능) 방법을 기반으로 한 통합 프레임워크를 활용한다.
• Lévy-Itô 분해를 적용하여 Lévy 과정을 확산 성분, 소규모 점프 성분, 대규모 점프 성분으로 분리한다.
• 해의 경로별 존재성과 유일성을 보장하기 위해 비선형성, 확산 및 점프 계수에 대해 리프시츠 조건과 전역 선형 성장 조건을 도입한다.
• 반사적 진화방정식이 Lévy 노이즈에 의해 구동될 때, 군 이론과 힐버트 공간에서의 확률적 분석을 활용한다.
• 안정성 정의에 제곱평균 노름을 사용하고, 적절한 함수 공간에서 수축사상 원리를 적용하여 존재성과 유일성을 증명한다.
• 확률적 설정에서 재귀성을 특성화하기 위해 분포적 Poisson 안정성 개념을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 Lévy 노이즈를 가진 반선형 SDE에 대해 Poisson 안정 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Lévy 노이즈에 큰 점프가 존재할 때조차도 계수의 Poisson 안정성(예: 주기성, 거의주기성)이 해에 물려받을 수 있는가?
• RQ3 계수의 재귀 성질과 그로 인해 유도된 해의 재귀 행동 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 Poisson 안정 해는 제곱평균 의미에서 전역적으로 점근적으로 안정한가?
• RQ5 계수들 중 가장 약한 재귀 성질이 해의 재귀 유형을 어떻게 결정하는가?

주요 결과

• 적절한 리프시츠 조건과 선형 성장 조건 하에서, 해는 분포적으로 계수의 Poisson 안정성을 물려받는 유일한 유계 해가 존재한다.
• 정리 5.1에 의해, 해는 제곱평균 의미에서 전역적으로 점근적으로 안정하다.
• 예제 6.1에서, Lévy 노이즈를 가진 확률적 상미분방정식은 $\nu(-1,1) < \frac{25}{16}$ 이고 $b \leq 1$ 일 때, 분포적으로 유일한 Levitan 거의주기적 해를 가진다.
• 예제 6.2에서, Lévy 노이즈를 가진 확률적 열방정식은 유일한 $\mathcal{L}^2$-유계 해를 가지며, 이는 분포적으로 Levitan 거의주기적이고 제곱평균 의미에서 전역적으로 점근적으로 안정하다.
• 해의 재귀 유형은 계수 $f$, $g$, $F$, $G$ 중에서 가장 약한 재귀 성질에 의해 결정되며, 이는 정리 4.7에 명시되어 있다.
• 모든 $\mathcal{L}^2$-초기 조건을 가진 해들은 충분히 오랜 시간 후에 유계로 유지된다. 이는 정리 5.2에 기록되어 있다.