[논문 리뷰] Poisson structure on moduli of flat connections on Riemann surfaces and $r$-matrix

V. V. Fock, A. A. Rosly|arXiv (Cornell University)|1998. 02. 10.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 48

한 줄 요약

이 논문은 편평한 G-_bundle가 있는 리만 곡면의 모듈리 공간에 대해, 털난 지그재그 그래프와 격자 양자장 이론을 이용하여 포아송 구조를 수립한다. 그래프 접속 공간에 포아송-라이 구조를 구성하여 게이지 군 작용에 의한 몫을 취함으로써 모듈리 공간을 복구하며, 이는 R-행렬 형식론과 호환되는 자연스러운 포아송 구조를 제공하고, WZNW conformal block을 통한 양자화를 위한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We consider the space of graph connections (lattice gauge fields) which can be endowed with a Poisson structure in terms of a ciliated fat graph. (A ciliated fat graph is a graph with a fixed linear order of ends of edges at each vertex.) Our aim is however to study the Poisson structure on the moduli space of locally flat vector bundles on a Riemann surface with holes (i.e. with boundary). It is shown that this moduli space can be obtained as a quotient of the space of graph connections by the Poisson action of a lattice gauge group endowed with a Poisson-Lie structure. The present paper contains as a part an updated version of a 1992 preprint ITEP-72-92 which we decided still deserves publishing. We have removed some obsolete inessential remarks and added some newer ones.

연구 동기 및 목표

• 구멍이 있는 리만 곡면 위의 평탄한 G-_bundle의 모듈리 공간을 그래프 접속을 통해 유한차원적이고 계산 가능한 형태로 기술하는 것.
• 게이지 군 위의 포아송-라이 구조와 호환되는 그래프 접속 공간에 대한 포아송 구조를 정의하는 것.
• 게이지 변환에 의한 그래프 접속의 몫이 평탄한 접속의 모듈리 공간을 주며, 이에 잘 정의된 포아송 구조를 갖는다는 것을 보여주는 것.
• 포아송 구조와 고전적 r-행렬 간의 연결 고리를 확립하여 WZNW 이론을 통한 양자화를 가능하게 하는 것.
• 이전 연구를 바탕으로 현대적 응용에 맞게 업데이트된 기하학적·대수적 프레임워크를 제공하여 양자화에 적합한 것.

제안 방법

• 구멍이 있는 리만 곡면을, 정점에서 인접하는 간선의 순서가 순환적이고, 면이 경계에 대응하는 털난 지그재그 그래프로 표현한다.
• oriented 간선에 군 원소를 할당하는 그래프 접속을 정의하여, 이는 G^E 와 미분구조적으로 동형인 유한차원 다양체를 이룬다.
• 특히 gl(k)의 고전적 r-행렬과 간선 끝에 작용하는 생성자들을 통해, 그래프 접속 공간에 포아송 2차장소를 정의한다.
• 게이지 군에 대해 포아송-라이 구조를 구성하여, 이 작용이 그래프 접속 공간 위에서 포아송적이 되도록 하며, 이를 통해 모듈리 공간으로의 축소를 가능하게 한다.
• 게이지 불변성을 이용하여, 부분다양체(예: 대각행렬 A)에서 0이 되는 항들을 추가로 수정함으로써 포아송 2차장소를 단순화시키며, 게이지 불변 함수 위에서의 괄목을 유지한다.
• 기본 변수들(예: λ_i와 s_i) 사이의 명시적 포아송 괄목을 유도하여, Ruijsenaars 해밀토니안을 얻고, 이는 적분 가능 체계와의 일致를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 있는 리만 곡면 위의 평탄한 G-_bundle의 모듈리 공간은 어떻게 그래프 접속의 유한차원 표현으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 게이지 군 위의 포아송-라이 구조와 호환되는 포아송 구조가 그래프 접속 공간에 어떻게 존재하는가?
• RQ3 게이지 군 작용에 의한 몫 공간(즉, 모듈리 공간)에 얻어지는 포아송 구조는 고전적 r-행렬 형식론과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 대각 게이지 선택을 존중하는 수정된 2차장소를 통해 게이지 불변 함수들 사이의 포아송 괄목을 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 구성된 포아송 구조는 Ruijsenaars-Schneider 모델의 해밀토니안과 일치하는 해밀토니안 체계를 유도하는가?

주요 결과

• 구멍이 있는 리만 곡면 위의 평탄한 G-_bundle의 모듈리 공간은 게이지 군 작용에 의한 평탄한 그래프 접속 공간의 몫과 미분구조적으로 동형이다.
• 그래프 접속 공간은 gl(k)의 고전적 r-행렬에 의해 유도되는 포아송 구조를 지닌다. 이는 간선 끝 생성자들을 포함하는 명시적 2차장소 표현을 가진다.
• 게이지 군은 포아송-라이 군으로 작용하며, 이 작용에 대한 모멘텀 맵은 μ(A,B) = ABA⁻¹B⁻¹로 주어진다.
• 게이지 불변 함수들 사이의 포아송 괄목은, A가 대각행렬인 부분다양체에서의 계산을 단순화시키면서도 괄목을 유지하는 수정된 2차장소를 통해 명시적으로 계산할 수 있다.
• 기본 변수 λ_i와 s_i는 {λ_i, s_j} = λ_i s_j δ_ij 와 {s_i, s_j} = 0 를 만족하며, 이를 통해 H = ∑(s_i + s_i⁻¹) × 곱인자 형태의 해밀토니안을 얻는다. 이는 Ruijsenaars 해밀토니안과 정확히 일치한다.
• 포아송 2차장소의 행렬식은 det B = x^{n(n-1)/2} ∏_i q_i ∏_{i≠j} (λ_i - λ_j)/(xλ_i - λ_j) 로 명시적으로 계산되며, 항등원 근처에서 비퇴화됨을 확인한다.