[논문 리뷰] Polling systems and multitype branching processes in random environment counted by random characteristics

Vladimir Vatutin|ArXiv.org|2009. 10. 06.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 34인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무작위 환경에서의 다형태 브랜치 과정(MBPRCRE)을 사용하여 서비스 파라미터가 무작위로 변화하는 분기형 풀링 시스템을 분석한다. 바쁜 기간 길이의 尾확률 분포가 거듭제곱 법칙으로 감소함을 보이며, $ sim Cy^{-κ}$, 그리고 바쁜 기간 동안 누적된 총 최종 제품의 모멘트가 유한한지 무한한지를 판단하는 조건을 설정한다.

ABSTRACT

By the methods of multitype branching processes in random environment counted by random characteristics we study the tail distribution of busy periods and some other characteristics of the branching type polling systems in which the service disciplines, input parameters and service time distributions are changing in a random manner.

연구 동기 및 목표

• 서비스 규칙과 파라미터가 무작위로 변화하는 풀링 시스템에서 바쁜 기간의 꼬리 행동을 분석하는 것.
• 기존의 지수 분포 서비스 시간 가정을 초월하여 바쁜 기간의 모멘트 및 꼬리 행동에 대한 결과를 확장하는 것.
• 바쁜 기간 동안 누적된 총 최종 제품(예: 서비스 시간)의 모멘트가 유한한지 무한한지를 판단하는 조건을 설정하는 것.
• 바쁜 기간 길이의 꼬리 분포의 渐近적 거듭제곱 법칙 감소를 특성화하는 것.
• 특히 [34]의 정리 1.1을 더 넓은 비지수 및 비마르코프 시스템의 범주로 일반화하고 정밀화하는 것.

제안 방법

• 각 서버 방문이 후속 고객과 최종 제품(예: 서비스 시간)을 생성하는 다형태 브랜치 과정을 무작위 환경(MBPRCRE)으로 모델링한다.
• 각 정류장에서의 후속 및 최종 제품의 공동 분포를 기술하기 위해 혼합 확률 생성 함수(m.p.g.f.) $\phi_n^{(i)}(\mathbf{s};\lambda)$ 를 사용한다.
• 전이 매트릭스를 기반으로 예상 후속 및 최종 제품 수를 나타내는 랜덤 매트릭스 $H_n$ 과 벡터 $\mathbf{C}_n$ 를 정의한다.
• 무작위 특성 이론을 적용하여 바쁜 기간 동안 누적된 총 최종 제품 $\Phi$ 를 추적한다.
• 전이 매트릭스를 이용해 예상 총 최종 제품을 계산하기 위한 핵심 방정식 $\mathbf{C}_n = (E - H_n^\Delta)^{-1} \mathbf{c}_n$ 를 유도한다.
• 특히 부분적 초과성과 매개수 $\kappa$ 에 중점을 두어, 기반 브랜치 과정에 대한 모멘트 및 꼬리 분석 조건을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바쁜 기간 동안 누적된 총 최종 제품 $\Phi$ 의 분포가 거듭제곱 법칙 꼬리 분포를 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 언제 바쁜 기간이 거의 확실히 무한한가? 그리고 이러한 행동을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 Φ의 x번째 모멘트가 유한한지 무한한지를 결정하는 요소는 무엇인가?
• RQ4 꼬리 감소율 $\sim Cy^{-\kappa}$ 는 시스템의 무작위 파라미터와 브랜치 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 결과를 지수 분포 서비스 시간 분포를 초월하여 더 넓은 범주로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 지정된 모멘트 및 부분적 초과성 조건 하에서, 바쁜 기간 길이의 꼬리 분포는 $\mathbf{P}(\Phi > y) \sim C y^{-\kappa}$ 를 만족하며, $y \to \infty$ 일 때, $C > 0$ 및 $\kappa > 0$ 이다.
• 기반 MBPRCRE 가 부분적으로 초과성이고 특정 모멘트 조건을 만족할 경우, $\mathbf{E}[\Phi^x] < \infty$ 이다. 유한한 것은 $x < \kappa$ 일 때에만 성립한다.
• 기반 MBPRE 가 초과성이고 $\alpha > 0$ 이며 조건 (16) 이 성립할 경우, 바쁜 기간은 양의 확률로 무한하다.
• 최종 제품이 서비스 시간에 해당할 경우 꼬리 행동이 완전히 특성화되며, 이는 이전 연구에서 지수 분포 서비스 시간을 가정한 바를 확장한다.
• 매개수 $\kappa$ 는 후속 및 최종 제품 분포의 모멘트 생성 함수를 포함하는 특성 방정식의 해에 의해 결정된다.
• 랜덤 매트릭스 $H_n$ 의 모멘트 생성 함수 존재성을 보장하는 조건 $T$ 는 핵심적이지만, 현재까지는 제한된 매트릭스 클래스에서만 검증되어 있다.