[논문 리뷰] Polyline Drawings with Topological Constraints

Emilio Di Giacomo, Peter Eades외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 곡선 복잡도가 낮은 비평면 그래프의 위상적 성질을 유지하는 다각형선 도형을 소개한다. 평면 기초(교차하지 않는 간선)가 연결되어 있을 경우, 각 간선에 최대 3개의 굽힘을 가진 도형이 위상을 완전히 보존함을 증명한다. 비평면성 k인 그래프의 경우, 곡선 복잡도는 최대 2k이며, k=1일 경우 1로 감소한다. 최적의 2-평면 그래프는 곡선 복잡도 2로 직각 교차를 달성하거나, 복잡도 1로 거의 최적의 해상도를 확보한다.

ABSTRACT

Let G be a simple topological graph and let Gamma be a polyline drawing of G. We say that Gamma partially preserves the topology of G if it has the same external boundary, the same rotation system, and the same set of crossings as G. Drawing Gamma fully preserves the topology of G if the planarization of G and the planarization of Gamma have the same planar embedding. We show that if the set of crossing-free edges of G forms a connected spanning subgraph, then G admits a polyline drawing that partially preserves its topology and that has curve complexity at most three (i.e., at most three bends per edge). If, however, the set of crossing-free edges of G is not a connected spanning subgraph, the curve complexity may be Omega(sqrt{n}). Concerning drawings that fully preserve the topology, we show that if G has skewness k, it admits one such drawing with curve complexity at most 2k; for skewness-1 graphs, the curve complexity can be reduced to one, which is a tight bound. We also consider optimal 2-plane graphs and discuss trade-offs between curve complexity and crossing angle resolution of drawings that fully preserve the topology.

연구 동기 및 목표

• 비평면 그래프의 위상적 특성을 유지하는 다각형선 도형을 연구한다.
• 위상 보존을 유지하면서도 최대 굽힘 수(각 간선의 굽힘 최댓값)로 정의되는 곡선 복잡도를 최소화한다.
• 저복잡도 도형을 허용하는 비평면성 그래프의 가족(예: 비평면성-k, 최적의 2-평면)을 특성화한다.
• 위상 보존 도형에서 곡선 복잡도와 교차 각 해상도 사이의 상호 교환 관계를 탐색한다.

제안 방법

• 부분적 및 완전한 위상 보존을 정의: 동일한 외부 경계, 순서 체계, 교차 및 평면화된 임베딩을 포함한다.
• 평면화와 현 기반 국소 수정을 활용하여 굽힘이 있는 간선을 임베딩하면서 교차 및 각도를 유지한다.
• Chiba 등 [7]의 알고리즘을 적용하여 최적의 2-평면 그래프에 대해 볼록 면 도형을 계산한다.
• 교차점을 현에 할당하고, 굽힘을 가진 간선을 국소적으로 재구성하여 직각 교차를 달성한다.
• 교차점 근처에 굽힘 위치를 배치하여 세그먼트 기울기를 제어하고 작은 교차 각을 보장한다.
• 비연결 평면 기초와 허위선 배열에 대한 조합적 추론을 통해 하한을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곡선 복잡도가 낮은 다각형선 도형이 비평면 그래프의 위상을 완전히 보존할 수 있는가?
• RQ2 평면 기초가 비연결일 경우, 위상 보존 도형에 필요한 최소 곡선 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 비평면성은 위상 보존 다각형선 도형의 곡선 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 2-평면 그래프에서 곡선 복잡도 1로 최적의 교차 각 해상도(π/2)를 달성할 수 있는가?
• RQ5 위상 보존 도형에서 동시에 최적의 교차 각 해상도와 곡선 복잡도 1을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 평면 기초가 연결되어 있을 경우, 곡선 복잡도가 최대 3인 다각형선 도형이 위상을 완전히 보존한다.
• 이중 연결된 평면 기초의 경우 곡선 복잡도를 1로 줄일 수 있으며, 이는 최악의 경우 최적이다.
• 평면 기초가 비연결일 경우 곡선 복잡도는 Ω(√n)까지 높아질 수 있다.
• 비평면성 k인 그래프의 경우 곡선 복잡도 최대 2k로 위상 보존 도형이 존재하며, k=1일 경우 1로 감소한다.
• 최적의 2-평면 그래프는 총 2개의 굽힘이 있고 직각 교차를 갖는 도형을 제공한다.
• 최적의 2-평면 그래프는 곡선 복잡도 1로 π/2에 매우 가까운 교차 각 해상도를 달성하거나, 곡선 복잡도 2로 정확히 π/2의 해상도를 확보할 수 있다.