[논문 리뷰] Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of $\zeta(3)$ and $\zeta(5)$

David Broadhurst|arXiv (Cornell University)|1998. 03. 16.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 ζ(3) 및 ζ(5)의 1000만 번째 16진수 자릿수를 O(d log³ d) 시간과 O(log d) 공간에서 다중로그 급수와 초기함수 급수를 사용하여 계산할 수 있음을 입증한다. 또한 ζ(3), ζ(5), π, log 2, 캐럴턴 상수, π 및 log 2의 거듭제곱의 곱을 포함한 17개의 관련 상수들이 다중로그 함수의 함수적 항등식과 새로운 초기함수 생성 함수를 통해 초고속 자릿수 계산이 가능한 SC∗ 클래스에 속함을 증명한다.

ABSTRACT

We develop ladders that reduce $\zeta(n):=\sum_{k>0}k^{-n}$, for $n=3,5,7,9,11$, and $\beta(n):=\sum_{k\ge0}(-1)^k(2k+1)^{-n}$, for $n=2,4,6$, to convergent polylogarithms and products of powers of $\pi$ and $\log2$. Rapid computability results because the required arguments of ${ m Li}_n(z)=\sum_{k>0}z^k/k^n$ satisfy $z^8=1/16^p$, with $p=1,3,5$. We prove that $G:=\beta(2)$, $\pi^3$, $\log^32$, $\zeta(3)$, $\pi^4$, $\log^42$, $\log^52$, $\zeta(5)$, and six products of powers of $\pi$ and $\log2$ are constants whose $d$th hexadecimal digit can be computed in time~$=O(d\log^3d)$ and space~$=O(\log d)$, as was shown for $\pi$, $\log2$, $\pi^2$ and $\log^22$ by Bailey, Borwein and Plouffe. The proof of the result for $\zeta(5)$ entails detailed analysis of hypergeometric series that yield Euler sums, previously studied in quantum field theory. The other 13 results follow more easily from Kummer's functional identities. We compute digits of $\zeta(3)$ and $\zeta(5)$, starting at the ten millionth hexadecimal place. These constants result from calculations of massless Feynman diagrams in quantum chromodynamics. In a related paper, hep-th/9803091, we show that massive diagrams also entail constants whose base of super-fast computation is $b=3$.

연구 동기 및 목표

• ζ(3), ζ(5), 캐럴턴 상수, π 및 log 2의 거듭제곱 등 관련 상수들이 초고속 자릿수 계산이 가능한 SC∗ 클래스에 속하는지 여부를 규명하는 것.
• Bailey-Borwein-Plouffé (BBP) 방법을 π, log 2, π², log²2를 넘어서 높은 리만 제타 함수 값과 오일러 합으로 확장하는 것.
• 다중로그 급수와 초기함수 생성 함수를 개발하여 다중제타 함수 및 딜리클레 배타 함수 값을 π, log 2 및 그 거듭제곱의 빠르게 계산 가능한 조합으로 환원하는 것.
• 이러한 새로운 표현을 사용하여 ζ(3) 및 ζ(5)의 1000만 번째 16진수 자릿수를 계산하는 것.

제안 방법

• Kummer의 함수적 항등식과 z⁸ = 1/16ᵖ (p = 1, 3, 5)인 특별한 z 값들을 사용하여 다중로그 급수를 유도하고, ζ(n) 및 β(n)을 수렴하는 다중로그 함수로 환원한다.
• Liₙ(z)의 함수적 관계를 적용하여 ζ(3), ζ(5), 관련 상수들을 단위근 및 대수적 수에서 평가된 다중로그 함수의 조합으로 표현한다.
• 초기함수 급수를 사용하여 오일러 합을 생성하고, 경로 적분 및 Pochhammer 기호 항등식을 통해 그들이 제타 값과 연결됨을 증명한다.
• 기호 계산(Reduce)을 활용하여 n ≤ 11인 순서에서 함수적 항등식의 유도를 자동화한다.
• 고정밀도 PSLQ와 기호 대수를 사용하여 정수 관계를 검증하고 유도된 항등식의 완전성을 확보한다.
• 모듈로 산술과 급수 가속 기법을 사용하여 자릿수를 계산하고, 333 MHz 머신에서 312비트 정밀도와 0.3 MB 메모리만을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ζ(3) 및 ζ(5)는 π와 log 2처럼 BBP 유형 공식을 통해 로그 공간과 거의 선형 시간 내에 계산될 수 있는가?
• RQ2 πⁿ, logⁿ2, 캐럴턴 상수, ζ(n) (n = 3, 5, 7, 9, 11)의 조합은 초고속 자릿수 추출이 가능한 SC∗ 클래스에 속하는가?
• RQ3 ζ(5) 평가에서 나타나는 오일러 합을 뒷받침하는 초기함수 생성 함수는 무엇인가?
• RQ4 다중로그 함수의 함수적 항등식을 체계적으로 활용하여 다중제타 함수 및 딜리클레 배타 함수 값을 SC∗ 계산 가능한 형태로 환원할 수 있는가?
• RQ5 비오일러 합의 생성 급수에 대한 초기함수 표현이 관측된 특이점과 유리적 점근적 행동을 정확히 반영하는가?

주요 결과

• ζ(3)의 1000만 번째 16진수 자릿수는 CDA018F4E167F435B2AB045FB045A42F86BED12EF82BE2E1C6ECD305E92C5E4B이다.
• ζ(5)의 1000만 번째 16진수 자릿수는 F7A15E1277F7B2C04106F04B05C48AC71ACECAB14D555FDA6E5E1EC299535511이다.
• 모든 18개 상수—π, log 2, π³, log³2, ζ(3), π⁴, log⁴2, log⁵2, ζ(5) 및 그들의 곱—은 SC∗ 클래스에 속하며, d번째 16진수 자릿수는 O(d log³ d) 시간과 O(log d) 공간에서 계산 가능하다.
• 캐럴턴 상수 G에 대한 새로운 공식 G = 3 S₂,₁(1,−1,1,0,−1,1,−1,0) − 2 S₂,₃(1,1,1,0,−1,−1,−1,0)이 유도되어 빠른 자릿수 계산이 가능해졌다.
• 논문은 Pochhammer 기호를 갖는 초기함수 급수가 생성하는 오일러 합의 특이점이 삼각함수와 일치함을 증명하여 생성 급수의 구조를 확인했다.
• ζ(5)의 1000만 번째 자릿수 계산은 333 MHz DecAlpha 600에서 0.3 MB 메모리만을 사용하여 19시간 내에 완료되어 이 방법의 효율성을 입증했다.