[논문 리뷰] Polylogarithms, regulators and Arakelov motivic complexes

A. B. Goncharov|ArXiv.org|2002. 07. 03.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정칙 사영 복소수 대상에 대해 블로흐의 고차 코호몰로지 복합체에서 딜리뉴 복합체로의 명시적 레지우어 맵을 구성하며, 이를 통해 아라켈로프 모티빅 복합체를 그 코ーン으로 정의한다. 이와 동시에 그라스만니안 다이로그함수와 대칭공간 $SL_n(\mathbb{C})/SU(n)$ 간의 연관성을 밝히고, 이로부터 딜로지티듬 함수를 통해 쌍곡 3단체 부피의 로바체프스키 공식을 복원하며, 이 다이로그함수들을 이용해 $K_{2n-1}(\mathbb{C})$에 대한 보렐 레지우어 맵을 구성하고, 챠우 다이로그함수에 대해 강화된 상호법칙을 증명한다.

ABSTRACT

We construct an explicit regulator map from the weigh n Bloch Higher Chow group complexto the weight n Deligne complex of a regular complex projective algebraic variety X. We define the Arakelovweight n motivic complex as the cone of this map shifted by one. Its last cohomology group is (a version of) the Arakelov Chow group defined by H. Gillet. and C.Soule. We relate the Grassmannian n-logarithms (defined as in [G5]) to geometry of the symmetric space for GL_n(C). For n=2 we recover Lobachevsky's formula for the volume of an ideal geodesic tetrahedron via the dilogarithm. Using the relationship with symmetric spaces we construct the Borel regulator on K_{2n-1}(C) via the Grassmannian n-logarithms. We study the Chow dilogarithm and prove a reciprocity law which strengthens Suslin's reciprocity law for Milnor's K_3 on curves.

연구 동기 및 목표

• 정칙 사영 복소수 대상에 대해 고차 코호몰로지 복합체 $\mathcal{Z}^\bullet(X;n)$에서 무게 $n$의 딜리뉴 복합체 $\mathcal{C}^\bullet_\mathcal{D}(X(\mathbb{C});n)$로의 명시적 레지우어 맵을 정의한다.
• 이 레지우어 맵의 코너를 이동시킨 것으로 무게 $n$의 아라켈로프 모티빅 복합체를 구성하고, 그 마지막 코호몰로지 군이 아라켈로프 코호몰로지군과 일치함을 규명한다.
• 그라스만니안 $n$-로그함수를 대칭공간 $SL_n(\mathbb{C})/SU(n)$의 기하학과 연관지워 $K_{2n-1}(\mathbb{C})$에 대한 보렐 레지우어 맵을 구성한다.
• 차우 다이로그함수를 연구하고, 곡선 위의 $K^M_3$에 대해 강화된 상호법칙을 증명한다.

제안 방법

• 블로흐의 고차 코호몰로지 복합체 $\mathcal{Z}^\bullet(X;n)$에서 무게 $n$의 딜리뉴 복합체 $\mathcal{C}^\bullet_\mathcal{D}(X(\mathbb{C});n)$로의 복합체의 준동형을 구성한다.
• 이 맵의 코너를 $-1$만큼 이동시켜 무게 $n$의 아라켈로프 모티빅 복합체를 정의하고, 이를 유도 범주에서의 대상으로 간주한다.
• 그라스만니안 $n$-로그함수를 미분형식의 적분을 통해 대칭공간 $SL_n(\mathbb{C})/SU(n)$ 위의 불변 부피형식과 연관지운다.
• 분포적 미분법을 사용하여 $SL_n(\mathbb{C})/SU(n)$ 내의 이상적 기하학적 단체의 부피를 계산하고, 이를 다이로그함수로 표현한다.
• 단체 $\Delta_{2n-1}$ 내의 codimension-$n$ 사이클에 대해 차우 다이로그함수를 평가하여 $GL(\mathbb{C})$ 위의 $(2n-1)$-코호몰로지 족을 구성한다.
• 차우 다이로그함수의 함수방정식과 벡터들의 비일반적 구성의 기하학을 통해 족의 코호몰로지 성질을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모티빅 코호몰로지에 대한 레지우어 맵을 복합체 수준에서 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 SL_n(\mathbb{C})/SU(n) 내 이상적 기하학적 단체의 부피는 그라스만니안 다이로그함수로 표현될 수 있는가?
• RQ3 차우 다이로그함수는 $K^M_3$에 대해 수스린의 상호법칙을 강화한 성질을 만족하는가?
• RQ4 그라스만니안 $n$-로그함수를 통해 $K_{2n-1}(\mathbb{C})$에 대한 보렐 레지우어 맵을 구성할 수 있는가?
• RQ5 유도된 $GL(\mathbb{C})$ 위의 $(2n-1)$-코호몰로지 족의 코호몰로지 클래스는 비자명하고 보렐 클래스와 비례하는가?

주요 결과

• SL_3(\mathbb{C})/SU(3) 내 이상적 기하학적 단체의 부피는 $-6\pi c_3 \cdot \mathcal{L}_2(a)$에 비례하며, $c_3 = -1/(6\pi)$ 이므로 로바체프스키 공식을 복원한다.
• 그라스만니안 $n$-로그함수 구성은 $\mathbb{C}P^{n-1}$ 내에서 $2n$개의 초평면 구성에 대한 함수를 제공하며, 수렴성은 $n > 2$에 대해 아직 증명되지 않았지만 기대된다.
• 차우 다이로그함수는 $K^M_3$에 대해 수스린의 상호법칙을 강화한 성질을 만족한다.
• 보렐 레지우어 맵은 그라스만니안 $n$-로그함수를 통해 명시적으로 구성되며, 대수적 $K$-이론과 대칭공간 기하학 간의 연결고리가 된다.
• 차우 다이로그함수에서 유도된 $GL(\mathbb{C})$ 위의 $(2n-1)$-코호몰로지 족은 측정 가능하며, 함수방정식을 통해 족 조건을 만족한다.
• 유도된 족의 코호몰로지 클래스는 비자명하고 보렐 클래스와 비례할 것으로 추측되며, 이는 보렐 레지우어 맵의 새로운 실현을 제공한다.