[논문 리뷰] Polynomial complementarity problems

M. Seetharama Gowda|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 17.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 14인용 수 42

한 줄 요약

이 논문은 다항식 사상 f와 그 주요 동차 항 f^∞ 간의 관계를 분석하여 다항식 보완문제(PCPs)의 해집합이 비어 있지 않고 컴act임을 보장하는 조건을 수립한다. 핵심 결과는 PCP(f^∞, 0)의 유일한 해가 영일 때와 원점에서 min{x, f^∞(x)}의 위상수준도가 0이 아닐 경우, 모든 q ∈ ℝⁿ에 대해 PCP(f, q)가 해를 가지며, 이는 기존의 텐서 보완문제 결과를 크게 일반화한다.

ABSTRACT

Given a polynomial map f on the Euclidean n-space and a vector q, the polynomial complementarity problem, PCP(f,q), is the nonlinear complementarity problem of finding a nonnegative vector x such that y=f(x)+q is nonnegative and orthogonal to x. It is called a tensor complementarity problem if the polynomial map is homogeneous. In this paper, we establish results connecting the polynomial complementarity problem PCP(f,q) and the tensor complementarity problem PCP(f*,0), where f* is the leading term in the decomposition of f as a sum of homogeneous polynomial maps. We show, for example, that PCP(f,q) has a nonempty compact solution set for every q when zero is the only solution of PCP(f*,0)and the local (topological) degree of min{x,f*(x)} at the origin is nonzero. As a consequence, we establish Karamardian type results for polynomial complementarity problems. By identifying a tensor A of order m and dimension n with its corresponding homogeneous polynomial F(x):= Ax^{m-1}, we relate our results to tensor complementarity problems. These results show that under appropriate conditions, PCP(F+P,q) has a nonempty compact solution set for all polynomial maps P of degree less than m-1 and for all vectors q, thereby substantially improving the existing tensor complementarity results where only problems of the type PCP(F,q) are considered. We introduce the concept of degree of an R_0-tensor and show that the degree of an R-tensor is one. We illustrate our results by constructing matrix based tensors.

연구 동기 및 목표

• 다항식 사상의 점점 가까운 행동을 분석하여 다항식 보완문제(PCPs)의 전역 해 존재 조건을 수립하기.
• 선형 및 텐서 보완문제에서의 Karamardian 유형 결과를 더 넓은 범위의 다항식 사상으로 일반화하기.
• R₀-텐서의 차수 개념을 도입하고, R₀-텐서의 차수가 1임을 보여주기.
• F가 순서 m의 텐서에 대응할 경우, 차수 m−1 미만의 모든 다항식 사상 P와 모든 q에 대해 PCP(F + P, q)가 비어 있지 않고 컴팩트한 해집합을 가짐을 보여주기.
• f가 공복소적이지 않더라도 f^∞가 공복소적일 경우, 모든 q에 대해 PCP(f, q)의 해집합이 비어 있지 않고 컴팩트함을 보장하는 조건을 제공하기.

제안 방법

• 논문은 다항식 사상 f를 동차 성분으로 분해하고, f^∞를 차수 m−1의 주요 동차 항으로 식별한다.
• 위상수준도 이론을 사용하여 원점에서 min{x, f^∞(x)}의 국소적 행동을 분석하며, 특히 수준도가 0이 아닐 경우에 초점을 맞춘다.
• PCP(f, q)의 해집합을 PCP(f^∞, 0)의 해집합과 연결하며, 동차성과 극한 행동을 활용한다.
• 변분부등식 및 보완이론을 적용하여 PCP(f, q)의 해 존재성과 f^∞의 구조 및 그 해집합의 쌍대뿔의 구조를 연결한다.
• R₀-텐서의 차수 개념을 도입하고, 위상수준도를 사용하여 해 존재성과 유일성의 특성을 기술한다.
• 행렬 기반 텐서를 사용한 예시를 구성하여 이론적 결과를 설명하며, 특히 비대칭 및 공복소적 사상의 맥락에서 강조한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 q ∈ ℝⁿ에 대해 다항식 보완문제 PCP(f, q)가 비어 있지 않고 컴팩트한 해집합을 가지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 PCP(f^∞, 0)의 해가 유일하게 영일 경우, 주요 동차 항 f^∞의 성질에 기반해 PCP(f, q)의 해 존재성을 보장할 수 있는가?
• RQ3 원점에서 min{x, f^∞(x)}의 위상수준도가 PCP(f, q)의 전역 해 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 Karamardian 유형의 전역 해 존재 결과를 선형 및 텐서 보완문제에서 일반 다항식 보완문제로 확장할 수 있는가?
• RQ5 R₀-텐서의 차수는 어떤 의미를 가지며, 텐서 보완문제의 해 존재성과 유일성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• PCP(f^∞, 0)의 유일한 해가 영일 때와 원점에서 min{x, f^∞(x)}의 위상수준도가 0이 아니면, 모든 q ∈ ℝⁿ에 대해 PCP(f, q)는 비어 있지 않고 컴팩트한 해집합을 가진다.
• 논문은 Karamardian 유형의 결과를 증명한다: 만약 어떤 d > 0에 대해 PCP(f^∞, 0)과 PCP(f^∞, d)의 해가 모두 영일 경우, 모든 q에 대해 PCP(f, q)는 해를 가진다.
• 순서 m의 텐서 𝒜에 대해, TCP(𝒜, 0)과 TCP(𝒜, d)의 해가 모두 영일 경우, 모든 차수 m−1 미만의 다항식 사상 P와 모든 q에 대해 PCP(F + P, q)는 비어 있지 않고 컴팩트한 해집합을 가진다.
• R₀-텐서의 차수가 1임을 보여주며, 이는 텐서 보완문제의 해 존재성에 대한 위상적 특성화를 제공한다.
• 해결 가능한 q의 집합이 닫혀 있지 않을 수 있음을 보여주는 반례를 통해, 동차 다항식 사상일지라도 PCP(f, q)의 해집합이 닫혀 있지 않을 수 있음을 보여준다.
• f^∞의 공복소성만으로는 전역 해 존재성을 보장할 수 없으며, PCP(f^∞, 0)의 해가 영일 것이라는 조건이 함께 필요하다. 비대칭 행렬을 사용한 반례로 이를 입증한다.