[논문 리뷰] Polynomial entropy for the circle homeomorphisms and for $C^1$ nonvanishing vector fields on $\T^2$

Clémence Labrousse|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 1인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 2-토러스 위의 방향을 유지하는 원주 위상동형사상과 $C^1$로 영이 아닌 벡터장의 다항수렴도를 정의한다. 원주 위상동형사상의 다항수렴도는 회전으로 동형일 경우 0, 그 외의 경우 1임을 증명한다. 토러스 흐름의 경우 다항수렴도는 [0,1]에 속하며, 주기 궤도가 존재하면 다항수렴도는 1이지만, 회전으로 동형이면 0이다. 이 결과들은 위상수렴도를 넘어서 복잡도 측정을 정교화하기 위해 동역학적 거리와 커버링 수 추정을 사용한다.

ABSTRACT

We prove that the polynomial entropy of an orientation preserving homeomorphism of the circle equals 1 when the homeomorphism is not conjugate to a rotation and that it is 0 otherwise. In a second part we prove that the polynomial entropy of a flow on the two dimensional torus associated with a $C^1$ nonvanishing vector field is less that $1$. We moreover prove that when the flow possesses periodic orbits its polynomial entropy equals 1 unless it is conjugate to a rotation (in this last case, the polynomial entropy is zero).

연구 동기 및 목표

• 다항수렴도를 더 세밀한 척도로 도입함으로써 위상수렴도를 넘어서 동역학적 복잡도 분석을 정교화하는 것.
• 방향을 유지하는 원주 위상동형사상에 대한 다항수렴도의 정확한 값을 규명하는 것.
• $C^1$로 영이 아닌 벡터장이 2-토러스 위에 있을 경우 다항수렴도를 추정하고, 주기 궤도 및 회전으로의 동형성에 따른 의존성을 특성화하는 것.
• 영 위상수렴도를 가진 시스템을 더 세밀하게 분류함으로써 그 내재된 동역학적 복잡도를 구분하는 것.

제안 방법

• 시간에 따른 궤도 간격을 측정하기 위해 동역학적 거리 $d_n^f(x,y) = \max_{0 \leq k \leq n-1} d(f^k(x), f^k(y))$를 사용한다.
• 커버링 수 $G_n^f(Y,\varepsilon)$의 성장률을 통해 다항수렴도를 정의하며, 특히 $\lim_{\varepsilon \to 0} \limsup_{n \to \infty} \frac{\log G_n^f(Y,\varepsilon)}{\log n}$을 사용한다.
• $(n,\varepsilon)$-분리된 집합과 $d_n^f$에 대해 지름 $\leq \varepsilon$인 집합을 사용하여 커버링 및 분리 추론을 적용한다.
• 토러스 위의 궤도의 구조를 분석하며, 역학적 및 위상적 성질에 따라 (I), (II), (III) 유형의 영역으로 나눈다.
• 불변 근방과 흐름 불변성을 사용하여 엔트로피 추정을 국소화하며, 특히 주기 궤도와 그 집적점 주변에서 집중한다.
• 데니조 이론과 회전으로의 동형성 등을 포함한 동역학계 이론의 결과를 적용하여 다항수렴도가 0인 시스템을 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방향을 유지하는 원주 위상동형사상에 대한 다항수렴도의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ2 $\mathbb{T}^2$ 위의 $C^1$로 영이 아닌 벡터장이 다항수렴도 1을 가지는 조건은 무엇이며, 언제는 0인가?
• RQ3 주기 궤도의 존재는 토러스 흐름의 다항수렴도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 다항수렴도는 영 위상수렴도를 가진 시스템, 예를 들어 원운동과 데니조 유형의 위상동형사상 간을 구분할 수 있는가?

주요 결과

• 방향을 유지하는 원주 위상동형사상의 다항수렴도는 오직 그것이 회전으로 동형일 경우에만 0이며, 그 외의 경우는 1이다.
• $\mathbb{T}^2$ 위의 $C^1$로 영이 아닌 벡터장의 다항수렴도는 구간 [0,1]에 속한다.
• 관련 흐름이 주기 궤도를 가진다면 다항수렴도는 1이지만, 시간-1 사상이 회전으로 동형이면 0이다.
• 주기 궤도와 그 집적 집합의 컴acts 불변 근방 위에서 흐름의 다항수렴도는 1 이하로 상한이 있다.
• 토러스 내 모든 주기 궤도의 합집합은 컴팩트 집합이므로, 국소적 커버링 추론을 통해 전역 엔트로피를 유한하게 bound할 수 있다.
• 증명은 커버링 성장이 제어된 불변 근방을 구성함으로써 이루어지며, 고려된 모든 경우에서 다항수렴도는 최대 1임을 보여준다.