[논문 리뷰] Polynomial estimates and radius of analyticity on real Banach spaces

Marios K. Papadiamantis|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 29.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실 베르흐 공간 위의 멱급수에 대해 다항식 추정과 해석적 반경을 구하고, 균일 수렴 반경이 $\rho$일 때 해석적 반경이 최소 $\rho/\sqrt{2}$임을 증명한다. 결과적으로 복소 베르흐 공간에서의 고전적 추정을 실 $\ell_p$ 공간으로 일반화하며, 노름 비교와 다중선형 형식에 대한 스타링어 유형의 추정을 통해 이를 달성한다.

ABSTRACT

A generalization of Problem 73 of Mazur and Orlicz in the Scottish Book was introduced from L. Harris. The exact value of the constant that appears there is known when complex normed linear spaces are considered. In this paper, we give estimates in the case of an arbitrary real normed linear space and a real $\ell_p$ space. Moreover, if $F(x)$ is a power series, $ρ$ its radius of uniform convergence and $ρ_{\substack{A}}$ its radius of analyticity, we prove that $ρ_{\substack{A}}\geqρ/\sqrt{2}$ and give some respective results for the $n$th Fréchet derivative of $F(x)$.

연구 동기 및 목표

• 마줄과 올리츠의 문제 73을 복소 베르흐 공간에서 실 베르흐 공간, 특히 $\ell_p$ 공간으로 일반화하기 위해.
• 대칭 다중선형 형식의 노름을 그에 대응하는 동차 다항식에 대한 노름으로 제어하는 상수 $c(k_1,\ldots,k_n,X)$를 추정하기 위해.
• 균일 수렴 반경 $\rho$에 대한 해석적 반경 $\rho_A$의 하한을 구하기 위해.
• 실 베르흐 공간에서 멱급수의 프레셰 도함수의 수렴 행동을 분석하기 위해.

제안 방법

• 대칭 다중선형 형식과 그에 대응하는 다항식을 사용하여 $|L(x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n})|$의 날카운 상한을 유도한다.
• 다중선형 형식의 노름 추정을 유도하는 과정에서 확률 변수의 모멘트를 추정하기 위해 스타링어 근사법을 적용한다.
• 실 베르흐 공간에서 $\|L\|_{(n)} \leq \sqrt{n}\|\widehat{L}\|$ 부등식을 사용하여 $\|L\|_{(n)}/\|\widehat{L}\|$ 비율을 유계화한다.
• 레마 2.1을 적용하여 테일러 급수의 계수 성장과 균일 수렴 반경 및 해석적 반경 사이의 관계를 규명한다.
• $\limsup_{m\to\infty} \|L_m\|_{(2)}^{1/m} \leq \sqrt{2}/\rho$를 확립하여 하한 $\rho_A \geq \rho/\sqrt{2}$를 도출한다.
• 체의 결과를 프레셰 도함수에 적용하여 $D^nF(x)$의 수렴 반경을 유도하며, $n=2$일 경우 $\rho_A \geq \rho/\sqrt{2}$, $n \geq 3$일 경우 $\rho_A \geq \rho/\sqrt{e}$임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실 베르흐 공간에서 $|L(x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n})| \leq c(k_1,\ldots,k_n,X)\|\widehat{L}\|$를 만족하는 최적의 상수 $c(k_1,\ldots,k_n,X)$는 무엇인가요?
• RQ2 실 베르흐 공간 위의 멱급수에서 해석적 반경 $\rho_A$는 균일 수렴 반경 $\rho$와 어떻게 관련이 있나요?
• RQ3 $\rho$에 대한 프레셰 도함수 $D^nF(x)$의 수렴 반경은 무엇인가요?
• RQ4 복소변수에서의 추정 $c(k_1,\ldots,k_n,X) = \frac{k_1!\cdots k_n!}{k_1^{k_1}\cdots k_n^{k_n}}\frac{m^m}{m!}$는 실 베르흐 공간으로 확장될 수 있는가요?
• RQ5 실 $\ell_p$ 공간에서 $\|L\|_{(n)}$를 $\|\widehat{L}\|$에 대해 날카운 추정은 무엇인가요?

주요 결과

• 실 베르흐 공간 위의 멱급수에서 해석적 반경 $\rho_A$는 균일 수렴 반경 $\rho$에 대해 $\rho_A \geq \rho/\sqrt{2}$를 만족한다.
• 두 번째 프레셰 도함수 $DF(x)$의 테일러 급수의 균일 수렴 반경은 최소 $\rho/\sqrt{2}$이다.
• $n \geq 3$일 경우, $D^nF(x)$의 테일러 급수의 균일 수렴 반경은 최소 $\rho/\sqrt{e}$이다.
• 노름 비율 $\|L\|_{(2)}/\|\widehat{L}\|$는 실 베르흐 공간에서 $\left(\|L\|_{(2)}/\|\widehat{L}\|\right)^{1/m} \leq \sqrt{2}$를 만족한다.
• $n \geq 2$일 경우, 비율 $\|L\|_{(n)}/\|\widehat{L}\|$는 실 베르흐 공간에서 $\left(\|L\|_{(n)}/\|\widehat{L}\|\right)^{1/m} \leq \sqrt{n}$를 만족한다.
• $\|L\|_{(n)} \leq \sqrt{n}\|\widehat{L}\|$ 추정은 $m$이 짝수이고 $k_1 = k_2 = m/2$일 때 등호에 가까워지는 것으로, 날카로운 추정임을 보여준다.