[논문 리뷰] Polynomial extensions of symmetric and reversible rings

Mohamed Louzari, L'moufadal Ben Yakoub|arXiv (Cornell University)|2007. 09. 04.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 6인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 링 R가 대칭이거나 가역임과 동시에 그 $(\sigma,\delta)$-스키우 다항식 확장 $R[x;\sigma,\delta]$가 이러한 성질을 상속받는 조건을 규명한다. $\sigma$-대칭 및 $\sigma$-가역 링의 개념을 도입하고 $(\sigma,\delta)$-스키우 아르멘다르즈 조건을 활용하여, 특정 영수 조건 하에서 R의 대칭성과 가역성이 오레 확장으로 옮겨진다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Let $\sigma$ be an endomorphism and $\delta$ an $\sigma$-derivation of a ring $R$. In this paper, we show that if $R$ is $(\sigma,\delta)$-skew Armendariz and $a\sigma(b)=0$ implies $ab=0$ for $a,b\in R$. Then $R$ is symmetric (respectively, reversible) if and only if $R$ is $\sigma$-symmetric (respectively, $\sigma$-reversible) if and only if $R[x;\sigma,\delta]$ is symmetric (respectively, reversible). Moreover, we study on the relationship between the Baerness, quasi-Baerness and p.q.-Baerness of a ring $R$ and these of the Ore extension $R[x;\sigma,\delta]$. As a consequence we obtain a partial generalization of \cite{hong/2000}.

연구 동기 및 목표

• $(\sigma,\delta)$-스키우 다항식 확장에서 대칭성과 가역성 링 성질의 유지 여부를 조사한다.
• $(\sigma,\delta)$-스키우 아르멘다르즈 조건과 오레 확장으로의 대칭성/가역성 상승 간의 관계를 명확히 한다.
• R의 베어, 쿼지-베어, p.q.-베어 성질이 $R[x;\sigma,\delta]$에서 어떻게 관련되어 있는지 분석한다.
• 홍 등(2000)의 결과를 유도자와 미분을 갖는 스위우 다항식 링의 맥락에서 일반화한다.

제안 방법

• 대칭성과 가역성 링의 일반화로 $\sigma$-대칭 및 $\sigma$-가역 링의 개념을 도입한다.
• R[x;\sigma,\delta]에서 다항식 곱셈 행동을 제어하기 위해 $(\sigma,\delta)$-스키우 아르멘다르즈 조건을 사용한다.
• 영수 조건: 모든 $a,b \in R$에 대해 $a\sigma(b) = 0$이면 $ab = 0$임을 도입하여 링의 구조와 스위우 다항식 행동을 연결한다.
• 유도자 $\sigma$와 $\sigma$-미분 $\delta$를 갖는 오레 확장으로서 $R[x;\sigma,\delta]$의 구조를 분석한다.
• 주어진 조건 하에서 R이 대칭(또는 가역)임과 동시에 $R[x;\sigma,\delta]$가 대칭(또는 가역)임이 서로 동치임을 확립한다.
• 이deals 및 영수의 구조 분석을 통해 R에서 $R[x;\sigma,\delta]$로의 베어 유형 성질(베어, 쿼지-베어, p.q.-베어)의 유지 여부를 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 링 R의 대칭성이 그 $(\sigma,\delta)$-스키우 다항식 확장 $R[x;\sigma,\delta]$의 대칭성으로 이어지는가?
• RQ2 어떤 경우에 $(\sigma,\delta)$-스키우 아르멘다르즈 링의 맥락에서 R의 가역성이 $R[x;\sigma,\delta]$의 가역성과 동치가 되는가?
• RQ3 R의 베어, 쿼지-베어, p.q.-베어 성질은 $R[x;\sigma,\delta]$의 성질과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 영수 조건 $a\sigma(b) = 0 \Rightarrow ab = 0$은 오레 확장으로의 대칭성 및 가역성 상승을 어느 정도 촉진하는가?

주요 결과

• R가 $(\sigma,\delta)$-스키우 아르멘다르즈이고 $a\sigma(b) = 0 \Rightarrow ab = 0$를 만족하면, R이 대칭임과 동시에 $R[x;\sigma,\delta]$가 대칭임이 서로 동치이다.
• 동일한 조건 하에서 R이 가역임과 동시에 $R[x;\sigma,\delta]$가 가역임이 서로 동치이다.
• $\sigma$-대칭 및 $\sigma$-가역 링의 개념은 오레 확장으로의 대칭성 및 가역성 상승을 위한 필수적이고 충분한 조건으로 도입된다.
• 논문은 주어진 가정 하에서 R의 $\sigma$-대칭(또는 $\sigma$-가역) 성질이 $R[x;\sigma,\delta]$의 대칭(또는 가역) 성질과 동치임을 규명한다.
• 연구 결과, R의 베어, 쿼지-베어, p.q.-베어 성질은 동일한 영수 조건 및 스위우 아르멘다르즈 조건 하에서 $R[x;\sigma,\delta]$로 유지됨을 밝혀냈다.
• 결과적으로 홍 등(2000)의 이전 연구 결과를 스위우 다항식 링의 맥락에서 부분적으로 일반화하였으며, 유도자와 미분을 갖는 설정으로 확장하였다.