[논문 리뷰] Polynomial families of tautological classes on $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$

Renzo Cavalieri, Steffen Marcus외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 안정적인 유비터리 테일 곡선의 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{g,T}^{rt}$ 상에서 두 타우토로지컬 클래스—상대적 안정 맵으로부터 유도된 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$와 보편 유르비에인의 단면으로부터 유도된 $Q_{g,T}(k_1,\ldots,k_T)$—사이의 정밀한 비교를 수립한다. 이는 $R^g(\mathcal{M}_{g,T}^{rt})$에서 $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$임을 증명하며, 가상 국소화를 사용하여 종수 1과 총 길이 3인 경우에 대해 다항계수를 명시적으로 계산하고, 이들을 $\psi$ 및 $\delta_1$ 계열 클래스로 표현한다.

ABSTRACT

We study classes $P_{g,T}(α;β)$ on the moduli space of stable, genus g curves with rational tails defined by pushing forward the virtual fundamental classes of spaces of relative stable maps to an unparameterized projective line. A comparison with classes $Q_{g,T}$ arising from sections of the universal Jacobian shows the classes $P_{g,T}(α;β)$ are polynomial in the parts of the partitions indexing the special ramification data. Virtual localization on moduli spaces of relative stable maps gives sufficient relations to compute the coefficients of these polynomials in various cases.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{g,T}^{rt}$ 상에서 두 기하학적으로 정의된 타우토로지컬 클래스를 비교한다: 하나는 상대적 안정 맵의 가상 프로젝션으로부터 유도되고, 다른 하나는 보편 유르비에인의 단면으로부터 유도된다.
• 이 두 클래스가 분할 데이터의 부호 반전 하에 동일함을 증명한다. 특히 $R^g(\mathcal{M}_{g,T}^{rt})$에서 $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$임을 확인한다.
• 가상 국소화 기법을 사용하여 종수 1에서 다항식 $P_{1,T}(d;\alpha_2,\ldots,\alpha_T)$의 계수를 명시적으로 계산한다.

제안 방법

• 상대적 안정 맵의 모듈리 공간에서 $\mathbb{P}^1$으로의 정규화를 통해 0과 $\infty$에서 지정된 분할을 갖는 맵의 기본류의 가상 프로젝션으로서 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$를 정의한다.
• 보편 유르비에인의 영 단면의 당김으로서 $Q_{g,T}(k_1,\ldots,k_T)$를 정의하며, 이는 $\sum k_i p_i$ 형태의 분할 클래스에 의해 정의된 단면에 의해 유도된다.
• 상대적 안정 맵의 모듈리 공간에서 가상 국소화를 적용하여 타우토로지컬 클래스 간의 관계를 유도하고, 다항식 $P_{g,T}$의 계수를 계산한다.
• Ravi Vakil의 $Q_{g,T}$에 대한 다항식 성질 결과와 Hain의 코homology에서의 명시적 공식을 활용하여 다항식의 구조를 유추한다.
• 비교 $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$를 적용하여 $P_{1,T}$의 계산을 알려진 타우토로지컬 표현식으로 환원한다.
• 종수 1, 총 길이 3의 경우를 분석하여 $P_{1,T}$의 일반 공식을 $\psi_1$과 $\delta_1$ 유형의 경계 클래스로 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대적 안정 맵으로부터 유도된 타우토로지컬 클래스 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$와 보편 유르비에인의 단면으로부터 유도된 $Q_{g,T}(k_1,\ldots,k_T)$는 $\mathcal{M}_{g,T}^{rt}$에서 동일한가?
• RQ2 가상 국소화 기법을 사용하여 다항식 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$의 계수를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 종수 1과 임의의 총 길이 $T$에 대해 $P_{1,T}(d;\alpha_2,\ldots,\alpha_T)$의 명시적 타우토로지컬 표현식은 무엇인가?
• RQ4 다항식 $P_{1,3}(d;\alpha_2,\alpha_3)$의 계수는 표준 타우토로지컬 클래스 $\psi_1$과 $\delta_1$ 경계 클래스로 어떻게 분해되는가?
• RQ5 다항식 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$가 분할 데이터 $\alpha, \beta$에 대해 다항식적임이 계수의 구조에 반영되는가?

주요 결과

• 다음과 같은 깊은 기하학적 대응 관계가 성립한다: $R^g(\mathcal{M}_{g,T}^{rt})$에서 클래스 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$와 $Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$는 동일하다.
• 종수 1과 총 길이 3인 경우, $P_{1,3}(d;\alpha_2,\alpha_3)$의 계수는 $\mathcal{R}^1(\mathcal{M}_{1,3}^{rt})$에서 다음과 같이 명시적으로 주어진다: $A_2 = \psi_1 - \overline{\mathrm{D}}_{1,0}(2|1,3)$, $A_3 = \psi_1 - \overline{\mathrm{D}}_{1,0}(3|1,2)$, $B = \psi_1 - \overline{\mathrm{D}}_{1,0}(1|2,3)$.
• 일반적인 종수 1 다항식 $P_{1,T}(d;\alpha_2,\ldots,\alpha_T)$는 $\sum_{i=2}^T A_i \alpha_i^2 + \sum_{i>j} B_{i,j} \alpha_i \alpha_j$ 형태로 표현되며, 여기서 $A_i = \psi_1 - \sum_{\substack{J\subset[T],\, |J|\geq 2\\ 1\in J,\, i\notin J}} \overline{\mathrm{D}}_{1,0}([T]-J|J)$ 및 $B_{i,j} = \psi_1 - \sum_{\substack{J\subset[T],\, |J|\geq 2\\ 1\in J,\, i,j\notin J}} \overline{\mathrm{D}}_{1,0}([T]-J|J)$이다.
• 논문은 Looijenga의 고전적 결과의 변형을 복원한다: $P_{g,2}(d;d) = d^{2g} P_{g,2}(1;1)$이며, 이는 사인-유사 함수의 로그를 포함하는 생성함수로 표현된다.
• 비교 $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$를 통해 Hain의 $Q_{g,T}$에 대한 코homology 공식을 활용하여 종수 $g \geq 2$에서 $P_{g,T}$의 타우토로지컬 표현식을 유도할 수 있다.
• 상대적 모듈리 공간의 고장 이론이 정확한 삼각형의 열과 국소 분석을 통해 완전하다고 증명되어, 가상 기본류가 잘 정의되어 있음을 확인한다.