[논문 리뷰] Polynomial growth for compact quantum groups, topological dimension and *-regularity of the Fourier algebra

Alessandro D’Andrea, Claudia Pinzari외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 24.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바니카와 버그니우의 단순연결된 컴act 단순형 리군의 이중에서 다항식 성장에 관한 결과를 일반 컴팩트 군으로 확장하며, 가르판트-키릴로프 차원을 통해 성장 차수를 위상적 차원과 연결한다. 또한, 카크 유형의 컴팩트 양자군에 대해 다항식 성장이 *-정규성의 푸리에 대수를 암시함을 증명하여, C(G)의 모든 닫힌 이상이 A(G)와 조밀하게 만난다는 것과 A(G)가 고유한 C*-노름을 가짐을 보장한다.

ABSTRACT

Banica and Vergnioux have shown that the dual discrete quantum group of a compact simply connected Lie group has polynomial growth of order the real manifold dimension. We extend this result to a general compact group and its topological dimension, by connecting it with the Gelfand-Kirillov dimension of an algebra. Furthermore, we show that polynomial growth for a compact quantum group G of Kac type implies *-regularity of the Fourier algebra A(G), that is every closed ideal of C(G) has a dense intersection with A(G). In particular, A(G) has a unique C*-norm.

연구 동기 및 목표

• 단순연결된 컴팩트 리군의 이중에서 다항식 성장에 관한 반바카와 버그니우의 결과를 임의의 컴팩트 군으로 일반화하는 것.
• 컴팩트 군의 위상적 차원과 관련된 대수의 가르판트-키릴로프 차원 사이의 관계를 설정하는 것.
• 카크 유형의 컴팩트 양자군에서 다항식 성장이 그 푸리에 대수의 구조에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 다항식 성장이 푸리에 대수 A(G)의 *-정규성을 암시함을 증명하여, C(G)의 모든 닫힌 이상이 A(G)와 조밀하게 만난다는 것을 보장하는 것.
• *-정규성이 A(G)에 의해 고유한 C*-노름이 존재함을 보여주는 것.

제안 방법

• 컴팩트 양자군과 관련된 대수의 성장을 측정하기 위해 가르판트-키릴로프 차원을 도구로 사용하는 것.
• 이중 양자군의 대수적 랩핑의 가르판트-키릴로프 차원을 기초 컴팩트 군의 위상적 차원과 연결하는 것.
• 표현 이론적 기법을 적용하여 카크 유형의 양자군 맥락에서 푸리에 대수 A(G)의 구조를 분석하는 것.
• 이중 이산 양자군의 다항식 성장과 A(G)의 정규성 성질 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• C(G)에서 이상 이론적 추론을 사용하여 다항식 성장 조건 하에서 A(G)와의 조밀한 교차가 성립함을 보이는 것.
• 카크 성질을 활용하여 푸리에 대수의 대칭성을 확보함으로써 *-정규성과 C*-노름의 고유성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카크 유형의 컴팩트 양자군의 이중에서 다항식 성장이 그 푸리에 대수 A(G)의 *-정규성을 암시하는가?
• RQ2 컴팩트 군의 위상적 차원은 관련 대수의 가르판트-키릴로프 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 단순연결된 컴팩트 리군에 대한 다항식 성장 결과를 모든 컴팩트 군으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 이중 양자군에서의 다항식 성장은 A(G)의 어떤 구조적 성질을 유도하는가?
• RQ5 카크 유형의 양자군에서 다항식 성장 조건 하에 푸리에 대수 A(G)의 C*-노름이 고유한가?

주요 결과

• 모든 컴팩트 군의 이중 이산 양자군은 군의 위상적 차원과 같은 차수의 다항식 성장을 보인다.
• 컴팩트 양자군과 관련된 대수의 가르판트-키릴로프 차원은 기초 컴팩트 군의 위상적 차원과 일치한다.
• 카크 유형의 컴팩트 양자군에 대해 다항식 성장은 C(G)의 모든 닫힌 이상이 푸리에 대수 A(G)와 조밀하게 만난다는 것을 암시한다.
• 이 조밀한 교차 성질은 푸리에 대수 A(G)의 *-정규성을 확립한다.
• *-정규성의 결과로서, 푸리에 대수 A(G)는 고유한 C*-노름을 가진다.
• 이 결과는 이전의 단순연결된 컴팩트 리군에 대한 발견을 컴팩트 군 전체 클래스로 일반화한다.