[논문 리뷰] Polynomial Heisenberg algebras and Painlevé equations

David Bermúdez|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 09.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 학위논문은 2차 및 3차 다항형 헤이젠베르크 대수(PHA)와 각각 PIV 및 PV 페인레베 방정식 사이의 연결고리를 설정한다. 이를 위해 고차수 PHA를 제2 및 제3차 대수로 매핑하는 감소정리들을 증명한다. 또한 1F1의 역행하중함수를 통해 PIV 및 PV의 정확한 해를 유도하고, 해의 계층을 분류하며, 감소정리를 통해 PIV와 연결된 조화진동자 SUSY 상대자에 대한 코herent 상태를 구성한다.

ABSTRACT

We study first the supersymmetric quantum mechanics (SUSY QM), specially the cases of the harmonic and radial oscillators. Then, we obtain a new Wronskian formula for the confluent SUSY transformation and apply the SUSY QM to the inverted oscillator. After that, we present the polynomial Heisenberg algebras (PHA). We study the general systems described by PHA: for zeroth- and first-order we obtain the harmonic and radial oscillators, respectively; for second- and third-order PHA, the potential is determined in terms of solutions to Painlevé IV and V equations ($P_{IV}$ and $P_{V}$), respectively. Later on, we review the six Painlevé equations and we study the cases of $P_{IV}$ and $P_V$. We prove a reduction theorem for $2k$th-order PHA to be reduced to second-order algebras. We also prove an analogous theorem for the $(2k+1)$th-order PHA to be reduced to third-order ones. Through these theorems we find solutions to $P_{IV}$ and $P_V$ given in terms of confluent hypergeometric functions. For some special cases, those can be classified in several solution hierarchies. In this way, we find real solutions with real parameters and complex solutions with real and complex parameters for both equations. Finally, we study the coherent states (CS) for the SUSY partners of the harmonic oscillator that are connected with $P_{IV}$, which we will call Painlevé IV coherent states. Since these systems have third-order ladder operators $l_k^\pm$, we seek first the CS as eigenstates of the annihilation operator $l_k^-$. We also define operators analogous to the displacement operator and we get CS departing from the extremal states in each subspace in which the Hilbert space is decomposed. We conclude our treatment applying a linearization process to the ladder operators in order to define a new displacement operator to obtain CS involving the entire Hilbert space.

연구 동기 및 목표

• 다항형 헤이젠베르크 대수(PHA)와 페인레베 방정식, 특히 PIV 및 PV 사이의 관계를 탐구한다.
• 2k차 및 (2k+1)차 PHA를 각각 제2차 및 제3차 대수로 매핑하는 감소정리를 증명한다.
• 1F1의 역행하중함수를 통해 PIV 및 PV의 정확한 해를 도출한다.
• PIV 및 PV의 특수해를 서로 다른 해의 계층으로 분류한다.
• 감소정리를 통해 PIV와 연결된 조화진동자의 SUSY 상대자에 대한 코herent 상태를 구성한다.

제안 방법

• 함수형 SUSY 변환을 위한 새로운 브라우니안 공식을 유도하여, SUSY 양자역학에서 정확한 해를 가능하게 한다.
• 역행하중함수 양자역학(SUSY QM)을 반전된 진동자 위치에너지에 적용하여, PIV와의 연결고리를 확립한다.
• n차수의 다항형 헤이젠베르크 대수(PHA)를 정의하고, n=2 및 n=3일 때 잠재력이 PIV 및 PV의 해에 의해 결정됨을 보여준다.
• 감소정리 증명: 2k차 PHA는 제2차 대수로 감소하고, (2k+1)차 PHA는 제3차 대수로 감소한다.
• 감소정리를 활용하여 PIV 및 PV의 해를 1F1의 역행하중함수로 표현한다.
• 제3차 래더 연산자의 고유상태를 구하고 선형화된 이동 연산자를 도입하여, 조화진동자의 SUSY 상대자에 대한 코herent 상태를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차 및 3차 다항형 헤이젠베르크 대수는 각각 어떻게 PIV 및 PV 페인레베 방정식과 연결될 수 있는가?
• RQ2 고차수 PHA를 제2차 및 제3차 대수로 매핑하는 데 필요한 감소정리는 무엇인가?
• RQ3 PIV 및 PV의 해는 어떻게 1F1의 역행하중함수로 표현될 수 있는가?
• RQ4 PIV 및 PV의 특수한 경우에 대해 해의 계층은 어떻게 서로 다른가?
• RQ5 감소정리를 통해 PIV와 연결된 조화진동자의 SUSY 상대자에 대해 코herent 상태는 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 함수형 SUSY 변환을 위한 새로운 브라우니안 공식이 유도되어, SUSY 양자역학에서 정확한 해를 가능하게 하였다.
• SUSY QM을 반전된 진동자 위치에너지에 성공적으로 적용하여, PIV와의 연결고리를 확립하였다.
• PIV 및 PV의 해가 1F1의 역행하중함수를 통해 유도되어 정확한 해석적 표현을 제공하였다.
• 특수한 경우에 대해 PIV 및 PV의 해가 여러 해의 계층으로 분류되었으며, 이는 구조적 패턴을 드러내었다.
• 제3차 래더 연산자의 고유상태를 이용하고 선형화된 이동 연산자를 도입하여, 조화진동자의 SUSY 상대자에 대한 코herent 상태를 구성하였다. 이는 힐버트 공간 전체를 커버할 수 있도록 하였다.
• 감소정리를 통해 2k차 PHA는 제2차 대수로, (2k+1)차 PHA는 제3차 대수로 감소함을 증명하여, 페인레베 방정식과의 핵심적인 구조적 연결고리를 확립하였다.