[논문 리뷰] Polynomial Interpolation and Identity Testing from High Powers over Finite Fields

Gábor Ivanyos, Marek Karpiński외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 23.

Cryptography and Residue Arithmetic참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 단항 다항식의 보간 및 항등식 테스트를 위한 효율적인 고전적 및 양자 알고리즘을 제시한다. 다항식의 고차수 거듭제곱에 대한 오라클 접근만을 가정하며, 효과적 노울스텐젠츠, 캐릭터 합 추정, 그로버의 검색을 활용하여, $e \deg f > q$일 때 기존의 낭만적 방법보다 크게 향상된 부분 지수적 쿼리 복잡도를 달성한다. 랜덤화 및 양자 알고리즘은 각각 $O(\deg f \log q)$ 및 $O(e^{d/2})$의 쿼리 수를 요구한다.

ABSTRACT

We consider the problem of recovering (that is, interpolating) and identity testing of a "hidden" monic polynomial $f$, given an oracle access to $f(x)^e$ for $x\\in{\\mathbb F_q}$ (extension fields access is not permitted). The naive interpolation algorithm needs $O(e\\, \\mathrm{deg}\\, f)$ queries and thus requires $e\\, \\mathrm{deg}\\, f<q$. We design algorithms that are asymptotically better in certain cases; requiring only $e^{o(1)}$ queries to the oracle. In the randomized (and quantum) setting, we give a substantially better interpolation algorithm, that requires only $O(\\mathrm{deg}\\, f \\log q)$ queries. Such results have been known before only for the special case of a linear $f$, called the hidden shifted power problem. We use techniques from algebra, such as effective versions of Hilbert's Nullstellensatz, and analytic number theory, such as results on the distribution of rational functions in subgroups and character sum estimates.

연구 동기 및 목표

• 다항식의 고차수 거듭제곱에 대한 오라클 접근만을 가질 때, 유한체 위의 단항 다항식의 보간 및 항등식 테스트 문제를 해결한다. 이때 체 확장은 허용하지 않는다.
• 고전적 보간 기법이 $e \deg f > q$일 때 실패하는 한계를 극복한다. 이 경우 필드 원소의 수가 부족하여 기존 방법이 통하지 않는다.
• 고차수 오라클 모델 하에서 다항식 보간 및 항등식 테스트를 위한 효율적인 결정적, 랜덤화, 양자 알고리즘을 개발한다.
• 선형 다항식에 대한 이전 결과(숨겨진 이동 거듭제곱 문제)를 임의의 차수의 일반 단항 다항식으로 확장한다.
• 복잡도 한계를 $\log q$ 및 $\deg f$에 다항식으로, 쿼리 수를 $e$ 또는 $\deg f$에 대해 부분 지수적으로 유지한다.

제안 방법

• Hilbert의 노울스텐젠츠의 효과적 형태를 사용하여 $f^e - g^e$의 영점이 $\mathbb{F}_q$ 위의 대수적 구조와 관련이 있음을 규명한다.
• 캐릭터 합 추정과 부분군 내 유리 함수의 분포에 관한 결과를 적용하여 $f(x)^e = g(x)^e$의 해의 수를 근사한다.
• Shor의 양자 알고리즘을 이용해 체 원소의 $e$제곱근을 효율적으로 계산한다. 이는 순서 찾기 및 이산 로그 문제를 해결하는 데 사용된다.
• 다항식 $f(x)^e$ 값의 이산 로그 튜플을 찾기 위해 $E^d = \{0, \ldots, e-1\}^d$ 위에서 그로버의 양자 검색을 활용한다.
• 그로버의 검색을 고전적 샘플링으로 대체하여 고전적 랜덤화 알고리즘을 구현하며, 이 경우 쿼리 복잡도는 $O(e^d)$가 된다.
• 일반화된 리만 가설을 가정하여 결정적 루트 찾기 및 소수 기반 구성법을 사용해 $e$제곱근의 단위근을 결정적으로 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 보간의 표준 경계를 위반하는 $e \deg f > q$ 조건에서, 부분 지수적 쿼리 복잡도로 다항식 보간이 가능할 수 있는가?
• RQ2 두 개의 알려지지 않은 단항 다항식 간의 항등식 테스트를 $f(x)^e$와 $g(x)^e$ 오라클 접근만으로 효율적으로 수행할 수 있는가?
• RQ3 다항식 $f$를 $\mathbb{F}_q$ 상에서 $f(x)^e$로부터 복구하기 위해 필요한 최소 쿼리 수는 결정적, 랜덤화, 양자 알고리즘 각각 얼마인가?
• RQ4 해석적 수론과代수기하학의 기법을 어떻게 융합하여, 유한체에서의 블랙박스 보간 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ5 선형 다항식에 대한 결과(숨겨진 이동 거듭제곱 문제)를 고차수의 임의의 단항 다항식으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 랜덤화 알고리즘은 $O(\deg f \log q)$의 쿼리 수만으로도 기존의 낭만적 $O(e \deg f)$의 복잡도보다 크게 향상된 결과를 제공한다.
• 그로버의 검색을 이산 로그 공간에 적용한 양자 알고리즘은 $O(e^{d/2})$의 쿼리 복잡도를 가지며, 여기서 $d = \deg f$이다.
• 항등식 테스트 문제에 대해, 알고리즘은 $f \sim_e g$와 $f \not\sim_e g$를 고려 확률적으로 구분할 수 있으며, 이는 $O(\deg f \log q)$의 쿼리 수로 가능하다.
• 일반화된 리만 가설을 가정할 경우, $e \leq p^\delta$일 때 결정적 알고리즘이 유도되며, 복잡도는 $e^{d + c_0(d)\delta^{1/(2d-1)}}(d\log p)^{O(1)}$이다.
• 고전적 랜덤화 알고리즘의 쿼리 복잡도는 $O(e^d (d\log q \log(1/\varepsilon))^{O(1)})$이며, 이는 $\log q$와 $d$에 대해 다항식이지만, $d$에 대해 지수적이다.
• 다항식의 차수에 제한이 있는 함수장의 노울스텐젠츠 유사체를 사용하여 고차수 확장체 $\mathbb{F}_{p^n}$로 결과를 확장한다. 이때 '짧은 간격'의 개념을 다항식에 적용한다.