[논문 리뷰] Polynomial interpolation of modular forms for Hecke groups

Barry Brent|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 27.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 헤크 기하군 $G(\lambda_m)$에 대한 모듈라 형식의 푸리에 계수의 다항식 보간을 조사한다. 여기서 $\lambda_m = 2\cos\pi/m$이다. 실험적 분석과 디데킨트 에타 함수 및 하프트모듈렌과의 연결을 통해, $J_m$ 및 기타 모듈라 형식의 계수들이 $m$에 대한 다항식으로 보간된다고 제안한다. 주요 결과로는 이러한 다항식이 약수 합과 고전적 모듈라 형식과 연결됨을 보여준다.

ABSTRACT

Extending work of J. Raleigh, we compute polynomials $P_{n,F}(x)$ associated to certain families $F = \{f_m\}_{m = 3, 4, ...}$ of modular forms for Hecke groups $G(λ_m)$ with the property that $P_{n,F}(m)$ is the $n^{th}$ coefficient in the Fourier expansion of $f_m$. We express the $P_{n,F}$ in terms of the Fourier expansions of well-known Hauptmoduln, or in terms of certain divisor-sums. By studying the complex roots of the $P_n$, we relate them to Lehmer's question about Ramanujan's tau function. We review the theory of triangle functions and Hecke's theory of modular forms in order to establish a basis for our code, some of which originates in the dissertation of J. Leo. The article is an account of numerical experiments; the only theorems in it belong to work by others that we review as described above.

연구 동기 및 목표

• 헤크 군 $G(\lambda_m)$에 대한 모듈라 형식의 푸리에 계수들이 $m$에 대한 다항식으로 보간될 수 있는지 조사한다.
• $J_m$ (즉, $G(\lambda_m)$의 하프트모듈렌)에 대한 이전 결과를 양의 차수의 다른 모듈라 형식으로 확장한다.
• 실험적 방법을 통해 보간 다항식과 알려진 모듈라 대상(예: 디데킨트 에타 함수 변형 및 아이젠스타인 급수) 간의 연결을 탐색한다.
• $J_m$, $\overline{J_m}$, $\Delta_m^\diamond$ 간의 보간 행동에서의 구조적 차이를 분석한다.
• 보간 다항식의 대수적 구조와 그 근에 대한 추측을 수립하고 검증한다.

제안 방법

• $m=3,4,\dots$의 다양한 값에서 $J_m$ 및 기타 모듈라 형식의 푸리에 계수를 실험적으로 계산한다.
• $J_m$의 푸리에 계수 $a_n(m)$에 대해 $a_n(m) = P_n(m)$를 만족하는 다항식 $P_n(x)$를 기호 계산을 통해 식별한다.
• 푸리에 전개 매칭을 통해 보간 다항식을 아이젠스타인 급수 및 하프트모듈렌을 포함한 알려진 모듈라 형식과 비교한다.
• 보간 다항식의 근을 분석하고, 그 분포를 $m=3$에서의 지수적 감쇠와 같은 이론적 기대와 비교한다.
• 컴퓨터 도구(Mathematica, SageMath)를 활용해 다항식 항등식을 인수분해하고 검증한다.
• 푸리에 전개에서 계수 매칭을 통해 보간 다항식을 약수 합과 같은 산술 함수와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $J_m$ 및 $G(\lambda_m)$에 대한 다른 모듈라 형식의 푸리에 계수들이 $m$에 대한 다항식의 값으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 보간 다항식과 고전적 모듈라 대상(예: 디데킨트 에타 함수 또는 하프트모듈렌) 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 $J_m$과 $\overline{J_m}$는 다항식 보간을 보이지만 $\Delta_m^\diamond$는 그렇지 않은 이유는 무엇인가?
• RQ4 아이젠스타인 유사 급수에 대한 보간 다항식은 알려진 산술 함수(예: 약수 합)와 대응하는가?
• RQ5 $m$이 증가함에 따라 보간 다항식의 근은 어떻게 행동하는가? 그 분포는 점점 더 잘 모델링될 수 있는가?

주요 결과

• $J_m$의 푸리에 계수들은 다항식 $P_n(m)$에 의해 보간되며, 레일리와 아키야마의 이전 결과를 모든 $n$으로 확장한다.
• 실험적 증거는 $J_m$의 계수들이 고전적 하프트모듈렌 및 디데킨트 에타 함수 변형의 푸리에 계수와 관련이 있음을 지지한다.
• 차수 4의 모듈라 형식의 경우, 보간 다항식은 수준 2의 모듈라 형식인 $E_{\gamma,2}^2$의 계수와 일치하며, 이는 약수 합과의 연결을 시사한다.
• $J_m$ 및 관련 형식의 보간 다항식의 근은 $m=3$에서의 거리에 대해 지수적 감쇠를 보이며, 로그 거리 척도는 약 $-\pi n$ 또는 $-4n$로 나타난다.
• $\overline{J_m}$과 $\Delta_m^\diamond$를 보간하는 다항식은 서로 다른 행동을 보인다: $\overline{J_m}$는 보간되지만 $\Delta_m^\diamond$는 그렇지 않으며, 이는 계수 성장 방식의 구조적 차이를 시사한다.
• 추측 7은 $s_{\infty,n}$을 $\Gamma_0(2)$에 대한 유일한 정규화된 차수 4 촉성형식의 푸리에 전개에서 $q^n$의 계수로 식별하며, 고전적 모듈라 형식과의 연결을 확인한다.