[논문 리뷰] Polynomial patterns in the primes

Terence Tao, Tamar Ziegler|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 25.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다항식의 상수항이 임의로 허용되는 경우를 고려해 이전 결과를 일반화함으로써 소수에 무한히 많은 다항식 패턴이 존재함을 증명한다. 일반화된 본 네만 정리, 연결 정리, 고우어스 균일성 노름, 그리고 콘론-포크-조아 밀도화 방법을 조합하여, $ n \leq N $, $ m \leq M $ 인 경우 이러한 패턴의 점근적 수를 증명하며, 여기서 $ M \approx N^{1/d} $ 이고, $ m \ll \log^L n $ 이며 상수 $ L $ 이 밀도 $ \delta $ 에 의존하지 않는 소수의 양의 상대 밀도 부분집합으로까지 확장된다.

ABSTRACT

Let $P_1,\dots,P_k \colon {\bf Z} o {\bf Z}$ be polynomials of degree at most $d$ for some $d \geq 1$, with the degree $d$ coefficients all distinct, and admissible in the sense that for every prime $p$, there exists integers $n,m$ such that $n+P_1(m),\dots,n+P_k(m)$ are all not divisible by $p$. We show that there exist infinitely many natural numbers $n,m$ such that $n+P_1(m),\dots,n+P_k(m)$ are simultaneously prime, generalizing a previous result of the authors, which was restricted to the special case $P_1(0)=\dots=P_k(0)=0$ (though it allowed for the top degree coefficients to coincide). Furthermore, we obtain an asymptotic for the number of such prime pairs $n,m$ with $n \leq N$ and $m \leq M$ with $M$ slightly less than $N^{1/d}$. Our arguments rely on four ingredients. The first is a (slightly modified) generalized von Neumann theorem of the authors, reducing matters to controlling certain averaged local Gowers norms of (suitable normalizations of) the von Mangoldt function. The second is a more recent concatenation theorem of the authors, controlling these averaged local Gowers norms by global Gowers norms. The third ingredient is the work of Green and the authors on linear equations in primes, allowing one to compute these global Gowers norms for the normalized von Mangoldt functions. Finally, we use the Conlon-Fox-Zhao densification approach to the transference principle to combine the preceding three ingredients together. In the special case $P_1(0)=\dots=P_k(0)=0$, our methods also give infinitely many $n,m$ with $n+P_1(m),\dots,n+P_k(m)$ in a specified set primes of positive relative density $δ$, with $m$ bounded by $\log^L n$ for some $L$ independent of the density $δ$. This improves slightly on a result from our previous paper, in which $L$ was allowed to depend on $δ$.

연구 동기 및 목표

• 다항식의 차수 최대 $ d $ 이고 주계수들이 서로 다른 다항식 $ P_i $ 에 대해, 자연수 $ n, m $ 이 존재하여 $ n + P_1(m), \dots, n + P_k(m) $ 가 모두 소수임을 증명하는 것.
• 이전 결과에서 요구하던 $ P_i(0) = 0 $ 조건을 없애고 다항식에 임의의 상수항을 허용함으로써 기존 결과를 일반화하는 것.
• 다항식 패턴의 수에 대한 점근 공식을 $ n \leq N $, $ m \leq M $ 인 경우에 제공하는 것. 여기서 $ M $ 은 $ N^{1/d} $ 에 비해 略적으로 작다.
• 소수의 양의 상대 밀도 부분집합에서 이러한 패턴으로 확장하는 것. 이 경우 $ m $ 은 $ \log^L n $ 으로 유계이며, $ L $ 은 밀도 $ \delta $ 에 영향을 받지 않는다.

제안 방법

• 문제를 정규화된 반바나흐-망골트 함수의 평균화된 국소 고우어스 노름을 제어하는 것으로 줄이기 위해 일반화된 본 네만 정리를 적용한다.
• 최근의 연결 정리를 사용하여 이러한 평균화된 국소 고우어스 노름을 전역 고우어스 노름으로 제어한다.
• 그린과 저자들의 소수에서의 선형방정식에 관한 연구를 활용하여 정규화된 반바나흐-망골트 함수에 대한 전역 고우어스 노름을 계산한다.
• 위의 요소들을 하나의 점근 공식으로 조합하기 위해 콘론-포크-조아 밀도화 접근법을 이용한 전이 원리에 활용한다.
• 다른 연구에서의 정리 A.1의 수정된 버전을 사용하여 허위 무작위 가중치 $ \nu_b $ 에 대한 다항식 형태 조건을 검증함으로써, 핵심 오차 항에서 $ 1 + o(1) $ 행동이 보장되도록 한다.
• 분석 전반에 걸쳐 모든 다항식 차이 $ P_i - P_j $ 가 비상수이므로 오차 항의 균일성이 유지되도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 $ P_i(m) $ 가 0이 아닌 상수항을 가질 경우에도 소수에 무한히 많은 다항식 패턴이 존재하는가?
• RQ2 다항식 패턴의 점근적 수는 $ n \leq N $, $ m \leq M $ 인 경우에 어떻게 되는가? 여기서 $ M \approx N^{1/d} $ 이다.
• RQ3 결과를 소수의 양의 상대 밀도 부분집합에서의 패턴으로 확장할 수 있는가? 이 경우 $ m $ 은 $ \log^L n $ 으로 유계여야 한다.
• RQ4 이 설정에서 반바나흐-망골트 함수의 평균화된 국소 고우어스 노름과 전역 고우어스 노름 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 허위 무작위 가중치 $ \nu_b $ 가 전이 방법에 필요한 형태 조건을 만족하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 상수항이 0이 아니며 서로 다른 다항식 $ P_i $ 에 대해, $ n + P_1(m), \dots, n + P_k(m) $ 가 모두 소수인 자연수 $ n, m $ 가 무한히 존재한다.
• 점근 공식이 $ n \leq N $, $ m \leq M $ 인 경우에 확립되며, 여기서 $ M \ll N^{1/d} $ 이고, 주요 항은 국소 인자 $ \beta_p $ 의 곱으로 주어진다.
• 소수의 양의 상대 밀도 $ \delta $ 를 갖는 부분집합에 대해서는, $ m \ll \log^L n $ 인 $ n, m $ 가 무한히 존재하며, 이 경우 $ L $ 은 $ \delta $ 에 영향을 받지 않는다. 이는 이전 결과에서 $ L $ 이 $ \delta $ 에 의존했던 것을 개선한 것이다.
• 연결 정리를 통해 정규화된 반바나흐-망골트 함수의 평균화된 국소 고우어스 노름이 전역 고우어스 노름에 의해 제어됨을 확인할 수 있다.
• 모든 비상수 계수들이 유계이면서 $ P_i - P_j $ 가 비상수라는 조건 하에, 가중치 $ \nu_b $ 에 대한 다항식 형태 조건이 검증되어 핵심 오차 항에서 $ 1 + o(1) $ 행동이 보장된다.
• 곱 $ \prod_p \beta_p $ 는 절대 수렴하므로 점근 공식의 산술 인자가 확인된다.