[논문 리뷰] Polynomial pseudomonads and dependent type theory

Steve Awodey, Clive Newstead|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 03.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자연 모델이 단위형과 의존 합형을 지원할 경우 다항식 준모나드로, 추가로 의존 곱형을 지원할 경우 이러한 준모나드 위의 다항식 준대수로 해석됨을 보여줌으로써 의존형 이론의 범주론적 기초를 확립한다. 핵심 기여는 국소적으로 카르테시안 닫힌 범주 내에서 고차원 범주론적 구조를 통해 형 이론 연산자들을 정확히 대수적으로 특성화한 것이다.

ABSTRACT

We assemble polynomials in a locally cartesian closed category into a tricategory, allowing us to define the notion of a polynomial pseudomonad and polynomial pseudoalgebra. Working in the context of natural models of type theory, we prove that dependent type theories admitting a unit type and dependent sum types give rise to polynomial pseudomonads, and that those admitting dependent product types give rise to polynomial pseudoalgebras.

연구 동기 및 목표

• 고차원 범주론을 사용하여 의존형 이론의 대수적 구조를 형식화하는 것.
• 단위형, 의존 합형, 의존 곱형과 같은 형 이론 연산자와 준모나드, 준대수와 같은 범주론적 구조 사이의 격차를 메우는 것.
• 형 이론 연산의 일관성 법칙을 이해하기 위한 통합된 범주론적 프레임워크를 제공하는 것.
• 적절한 형 이론적 가정 하에 자연 모델이 다항식 준모나드와 준대수를 자연스럽게 유도함을 확립하는 것.

제안 방법

• 국소적으로 카르테시안 닫힌 범주 내에서 다항식의 트리카테고리 구축을 통해 다항식 준모나드와 준대수의 정의를 가능하게 한다.
• 범주의 내부 언어를 사용하여 다항함수를 형의 가족 위의 의존 합과 곱으로 묘사한다.
• 끌임과 수반 함자들을 활용하여 분할의 슬라이스에서 $\Sigma_f \dashv \Delta_f \dashv \Pi_f$의 삼중 수반을 이용해 다항복합체를 정의한다.
• 다항식의 카르테시안 사상으로 형 이론적 구조를 모델링하며, 조정을 통해 일관성 등식을 표현한다.
• 이론을 자연 모델에 적용하여 형 연산자가 다항식의 특정 사상과 대응됨을 보여준다.
• 그러한 사상의 존재(유일한 조정을 갖는 경우)가 해당 형 이론적 형의 존재와 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 고차원 범주론적 구조를 사용하여 의존형 이론을 대수적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 자연 모델에서 단위형과 의존 합형이 존재할 경우에 대응하는 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 의존 곱형은 고차원 범주론적 환경에서 어떤 대수 법칙과 관련이 있는가?
• RQ4 형 이론 연산자의 일관성 조건은 준모나드 또는 준대수의 조정을 통해 포괄될 수 있는가?
• RQ5 형 동치관계와 다항식 준모나드 및 준대수의 방정식 사이의 정확한 대응은 무엇인가?

주요 결과

• 형 가족이 다항식 준모나드의 구조를 지닐 때에만 자연 모델이 단위형과 의존 합형을 지원한다.
• 형 가족이 관련된 다항식 준모나드 위의 다항식 준대수의 구조를 지닐 때에만 자연 모델이 추가로 의존 곱형을 지원한다.
• 준모나드와 준대수의 구조에서의 일관성 등식은 의존형 이론에서 표준적인 형 동치관계, 즉 의존 합과 곱의 결합법칙과 항등원 법칙과 정확히 일치한다.
• 준모나드와 준대수의 구조에서의 조정은 다항식의 카르테시안 사상에 의해 유일하게 결정되며, 추가 데이터 없이도 일관성을 보장한다.
• 이 구성은 다항함수에 의해 지배되는 대수적 연산으로서 형 생성자를 해석하는 완전한 범주론적 의미론을 제공한다.
• 결과적으로 단위형 이론의 대수 법칙과 형 이론의 동치관계 사이에 정확한 이중성이 존재함을 보여주며, 형 이론과 범주론 사이에 깊은 구조적 연결고리를 드러낸다.