[논문 리뷰] Polynomial realizations of some trialgebras

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|ArXiv.org|2006. 05. 02.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 14인용 수 48

한 줄 요약

이 논문은 무한 변수에 대한 비가환 다항식을 사용하여 조합적 호프 대수의 다항 실현—특히 자유 덴드라이포름 트라이알제브라(TD)와 자유 큐빅 트라이알제브라(TC)—을 구축한다. WQSym와 그 쌍대 대수를 활용하여, 명시적인 기저, 내부 곱, 트라이알제브라의 구조를 도출하며, TC가 분할된 구성(compositions)을 통해 TD의 부분대수로 나타남을 보이며, 정규어휘의 격자 구조가 곱 기반과 내부 곱 규칙을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We realize several combinatorial Hopf algebras based on set compositions, plane trees and segmented compositions in terms of noncommutative polynomials in infinitely many variables. For each of them, we describe a trialgebra structure, an internal product, and several bases.

연구 동기 및 목표

• 세트 구성, 평면 트리, 분할된 구성에 기반한 조합적 호프 대수의 명시적 다항 실현을 구축하기.
• 자유 덴드라이포름 트라이알제브라(TD)와 자유 큐빅 트라이알제브라(TC)가 호프 대수 WQSym 내에 자연스러운 포함관계를 갖는다는 것을 확립하기.
• 비가환 대칭 함수를 사용하여 이 대수들의 트라이알제브라 구조, 내부 곱, 다중 기저를 묘사하기.
• WQSym의 동차 성분들이 솔로몬-티츠 대수와 동형임을 보여주어 TC의 쌍대 대수에서 내부 곱을 가능하게 하기.
• 패턴을 피하는 압축된 단어를 통해 정규어휘와 두 번째 정규어휘의 분할된 어휘를 특성화하여 TC의 곱 기반을 형성하기.

제안 방법

• 저자는 비가환 준정규 대칭 함수의 호프 대수 WQSym를 사용하며, 이를 히버트의 준정규화 작용에 대한 불변량으로 구현한다.
• 분할된 구성은 | 또는 ,로 분리된 정수의 열로 정의되며, 이는 어휘에서 인접한 문자 간 비교 기호와 연관된다.
• 기저 M_I는 S(T) = I를 만족하는 모든 트리 T에 대해 M_T의 합으로 정의되며, 여기서 S(T)는 T의 표준화된 어휘의 부호 수열이다.
• 부분대수 TC의 곱은 M_I' M_I'' = M_{I'▹I''} + M_{I',I''} + M_{I'|I''}로 주어지며, 여기서 ▹는 I'의 마지막 부분과 I''의 첫 부분을 붙이는 것을 의미한다.
• TC*의 내부 곱은 WQSym*로부터 유도되며, S_I' * S_I'' = S_I로 주어지며, 여기서 I는 I'과 I''의 정규어휘의 이중어휘에 S를 적용하여 얻어진다.
• 정규어휘와 두 번째 정규어휘를 통해 분할된 구성에 대한 격자 구조를 정의하며, 이들은 특정 순열 패턴(정규어휘: 121, 132, 212, 213; 두 번째 정규어휘: 121, 231, 212, 312)을 피하는 것으로 특성화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 덴드라이포름 트라이알제브라와 자유 큐빅 트라이알제브라가 비가환 다항식을 통해 WQSym의 부분대수로 어떻게 명시적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 큐빅 트라이알제브라 TC*의 내부 곱의 구조는 무엇이며, 이는 어떻게 WQSym*로부터 유도되는가?
• RQ3 정규어휘와 두 번째 정규어휘의 분할된 어휘는 어떻게 TC의 곱 기반을 형성하는가?
• RQ4 분할된 구성의 집합에 기반한 격자 구조는 무엇이며, 이는 의사퍼모튜헤드론과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 정규어휘와 두 번째 정규어휘의 분할된 어휘를 특성화하는 순열 패턴은 무엇인가?

주요 결과

• TD의 부분대수 TC는 한 생성자에 대한 자유 큐빅 트라이알제브라와 동형이며, 곱 규칙이 M_I' M_I'' = M_{I'▹I''} + M_{I',I''} + M_{I'|I''}로 주어진다.
• 길이 n인 정규어휘 분할된 어휘는 정확히 121, 132, 212, 213 패턴을 피하는 압축된 어휘이다.
• 두 번째 정규어휘 분할된 어휘는 121, 231, 212, 312 패턴을 피하는 압축된 어휘이다.
• 정규어휘 분할된 어휘의 집합은 TC의 곱 기반을 형성하며, 구조 상수는 분할된 구성이 곱으로 어떻게 실현될 수 있는지의 방법 수로 주어진다.
• TC*의 내부 곱은 WQSym*로부터 유도되며, S_I' * S_I'' = S_I로 주어지며, 여기서 I는 I'과 I''의 정규어휘의 이중어휘에 S를 적용하여 얻어진다.
• 정규어휘 분할된 어휘에 제한된 의사퍼모튜헤드론은 격자 구조를 이루며, S-동치류 위의 두 정의된 순서가 일치한다.