[논문 리뷰] Polynomial scaling of QAOA for ground-state preparation of the fully-connected p-spin ferromagnet

Matteo M. Wauters, Glen Bigan Mbeng외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다중 연결 p-spin 페로자성체의 기본 상태를 준비하는 데 있어 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)이 다항 자원을 사용하여, p ≥ 3일 때 양자 냉각(QA)이 기하급수적으로 작은 갭으로 인해 실패하는 문제를 극복할 수 있음을 보여준다. QAOA 파arameter 수 P가 임계 임계값 P* ∝ N를 초과할 경우, 매개변수 공간이 단순화되어 광범위한 매개변수 스케일링과 다항 자원 비용으로 완벽한 기본 상태 허점도 달성할 수 있다.

ABSTRACT

We show that the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) can construct with polynomially scaling resources the ground state of the fully-connected p-spin Ising ferromagnet, a problem that notoriously poses severe difficulties to a Quantum Annealing (QA) approach, due to the exponentially small gaps encountered at first-order phase transition for ${\ m p} \\ge 3$. For a target ground state at arbitrary transverse field, we find that an appropriate QAOA parameter initialization is necessary to achieve a good performance of the algorithm when the number of variational parameters $2{\ m P}$ is much smaller than the system size ${\ m N}$, because of the large number of sub-optimal local minima. Instead, when ${\ m P}$ exceeds a critical value ${\ m P}^*_{\ m N} \\propto {\ m N}$, the structure of the parameter space simplifies, as all minima become degenerate. This allows to achieve the ground state with perfect fidelity with a number of parameters scaling extensively with ${\ m N}$, and with resources scaling polynomially with ${\ m N}$.

연구 동기 및 목표

• p ≥ 3일 때 첫 번째 순서 전이에서 기하급수적으로 작은 갭으로 인해 양자 냉각(QA)이 실패하는 모델인 완전 연결 p-spin 페로자성체의 기본 상태 준비 문제를 해결하기 위해.
• 이 모델의 기본 상태를 효율적으로 준비할 수 있는가를 QAOA가 알고 있는 고전적 등비 진동의 어려움을 고려하여 조사하기 위해.
• 높은 정확도의 기본 상태 준비가 가능한 조건을 규명하기 위해 QAOA 매개변수 공간의 구조를 분석하기 위해.
• 특히 P ≪ N 및 P ≳ N인 영역에서 성공적인 기본 상태 준비를 위해 필요한 자원과 매개변수의 스케일링을 규명하기 위해.
• 변량 매개변수 수가 광범위하지 않은 경우 양호한 성능을 달성하기 위해 적절한 매개변수 초기화의 필요성을 규명하기 위해.

제안 방법

• 모든 스핀이 x축 방향으로 정렬된 상태를 초기 상태로 사용하여 QAOA 프레임워크를 적용하고, 횡방향 자기장(Hx)과 p-spin 해밀토니언(Hz)에 의해 생성된 교차 단위를 번갈아 적용한다.
• 에너지 기대값을 최소화하기 위해 고전적 최적화를 통해 변량 매개변수 γ와 β를 사용하여 QAOA 진동을 매개변수화한다.
• 에너지 경관의 대칭성, 특히 (γ, β) → (−γ, −β), β → β + π, 그리고 N과 p에 따라 γ → γ + π 또는 γ + π/2^p−1의 불변성 등을 분석한다.
• QAOA 층 수 P에 대한 임계 임계값을 식별하며, P* ∝ N는 매개변수 공간의 구조 변화를 나타내는 전이점이다.
• P > P*일 경우 에너지 경관이 단순화되어 모든 국소 최소값이 일치하게 되며, 이는 완벽한 기본 상태 허점도 가능하게 한다.
• 특히 P ≪ N인 경우에 초기 매개변수 선택의 역할을 중심으로 분석 및 수치적 방법을 통해 에너지 경관과 허점 스케일링을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QAOA는 p ≥ 3일 때 기하급수적으로 작은 갭으로 인해 실패하는 완전 연결 p-spin 페로자성체의 기본 상태를 효율적으로 준비할 수 있는가?
• RQ2 변량 매개변수 수 P가 시스템 크기 N보다 훨씬 작은 경우, QAOA 성능에서 매개변수 초기화의 역할은 무엇인가?
• RQ3 P가 증가함에 따라 QAOA 매개변수 공간의 구조는 어떻게 변화하는가? 특히 P가 임계값 P* ∝ N를 초과할 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 QAOA 에너지 경관이 어떻게 단순화되어 일치 최소값과 완벽한 기본 상태 허점도를 유도하는가?
• RQ5 이 모델에서 고정밀 기본 상태 준비를 달성하기 위해 필요한 자원(양자 회로와 고전적 최적화 단계)의 스케일링은 어떻게 되는가?

주요 결과

• QAOA는 p ≥ 3일 때에도 기하급수적 갭으로 인해 실패하는 양자 냉각(QA)의 문제를 극복하고, 다항 자원 스케일링을 통해 완전 연결 p-spin 페로자성체의 기본 상태를 준비할 수 있다.
• P ≪ N일 경우, 매개변수 공간에 많은 비최적 국소 최소값이 존재하므로 QAOA 성능은 초기화에 매우 민감하다.
• P > P* ∝ N일 경우, 매개변수 공간의 구조가 단순화되어 모든 국소 최소값이 일치하게 되며, 이는 완벽한 기본 상태 허점도 가능하게 한다.
• P > P*일 경우, 변량 매개변수 수는 시스템 크기 N에 따라 광범위하게 스케일링되며, 총 자원은 N에 대해 다항적으로 스케일링된다.
• 에너지 경관은 (γ, β) → (−γ, −β), β → β + π (p가 홀수일 때), 그리고 N과 p의 홀짝성에 따라 γ → γ + π 또는 γ + π/2^p−1의 불변성 등을 포함한 대칭성을 보인다.
• 임계 임계값 P*는 N에 대해 선형 스케일링되며, 복잡하고 거친 경관에서 단순화되고 일치하는 경관으로의 전이를 나타내며, 정확한 기본 상태 준비를 지원한다.