[논문 리뷰] Polynomial Time Algorithms and Extended Formulations for Unit Commitment Problems

Yongpei Guan, Kai Pan외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 29.

Electric Power System Optimization참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 볼록 비용 함수와 조각별 선형 비용 함수를 갖는 단일 발전기 유닛 커밋먼트(UC) 문제를 위한 다항식 시간 알고리즘과 확장형 포지션을 제시한다. 동적 프로그래밍과 이중성 이론을 활용하여, 볼록 케이스와 조각별 선형 케이스의 각각 시간 복잡도를 O(T²)와 O(T)로 줄였으며, 정수 프로그래밍을 제거하는 정수 선형 프로그래밍 재구성 방식을 제공함으로써 볼록 최적화를 통한 효율적 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Recently increasing penetration of renewable energy generation brings challenges for power system operators to perform efficient power generation daily scheduling, due to the intermittent nature of the renewable generation and discrete decisions of each generation unit. Among all aspects to be considered, a unit commitment polytope is fundamental and embedded in the models at different stages of power system planning and operations. In this paper, we focus on deriving polynomial time algorithms for the unit commitment problems with general convex cost function and piecewise linear cost function respectively. We refine an $\mathcal{O}(T^3)$ time, where $ T $ represents the number of time periods, algorithm for the deterministic single-generator unit commitment problem with general convex cost function and accordingly develop an extended formulation in a higher dimensional space that can provide an integral solution, in which the physical meanings of the decision variables are described. It means the original problem can be solved as a convex program instead of a mixed-integer convex program. Furthermore, for the case in which the cost function is piecewise linear, by exploring the optimality conditions, we derive more efficient algorithms for both deterministic (i.e., $\mathcal{O}(T)$ time) and stochastic (i.e., $\mathcal{O}(N)$ time, where $N$ represents the number of nodes in the stochastic scenario tree) red{single-generator} unit commitment problems. We also develop the corresponding extended formulations for both deterministic and stochastic single-generator unit commitment problems that solve the original mixed-integer linear programs as linear programs. Similarly, physical meanings of the decision variables are explored to show the insights of the new modeling approach.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 볼록 비용 함수 하에서 단일 발전기 유닛 커밋먼트(UC) 문제를 위한 효율적인 다항식 시간 알고리즘을 개발하는 것.
• 혼합정수계획문제를 선형계획문제로 변환하는 정수 해를 보장하는 확장형 포지션을 유도하여 결정적 및 확률적 UC 문제에 적용하는 것.
• 볼록 비용 함수의 경우 시간 복잡도를 O(T³)에서 O(T²)로, 조각별 선형 비용 함수의 경우 O(T)로 감소시켜 계산 효율성을 향상시키는 것.
• 시나리오 트리 구조를 갖는 확률적 UC 문제로 접근를 확장하여, 노드 수 N에 대해 O(N) 시간 복잡도를 달성하는 것.
• 확장형 포지션에서 의사결정 변수의 물리적 의미를 제공하여 모델링의 통찰력을 향상시키는 것.

제안 방법

• 일반적인 볼록 비용 함수를 갖는 결정적 UC 문제에 대해 동적 프로그래밍 알고리즘을 정교화하여, 경제적 배분 하위 문제를 사전에 해결함으로써 시간 복잡도를 O(T³)에서 O(T²)로 감소시켰다.
• 이중 변수를 사용한 고차원 공간에서의 확장형 포지션을 제안하였으며, 변수의 물리적 해석을 통해 정수 해를 보장하였다.
• 조각별 선형 비용 함수의 최적성 조건을 활용하여 결정적 UC 문제에 대해 선형 시간 O(T) 알고리즘을 설계하였다.
• 시나리오 트리를 방향성 없는 사이클 그래프로 모델링하고 이중 분해를 적용하여 확률적 UC 문제로의 확장을 도모하였으며, O(N) 시간 알고리즘을 도출하였다.
• 원래의 결정과 이중 변수를 연결하는 제약 조건을 포함한 선형 프로그래밍을 제안하였으며, 원래의 혼합정수계획문제와 동치임을 보장하였다.
• 확장형 포지션의 의사결정 변수에 물리적 의미를 도입하여, 시나리오 기반 이중 해의 가중 평균을 통해 발전량, 가동 여부, 기동 상태 등을 표현하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 볼록 비용 함수를 갖는 단일 발전기 UC 문제의 시간 복잡도를 O(T³) 이하로 낮출 수 있는가?
• RQ2 혼합정수계획문제를 풀지 않고도 결정적 UC 문제에 대해 정수 해를 보장하는 확장형 포지션을 구성할 수 있는가?
• RQ3 비용 함수가 조각별 선형인 경우 결정적 UC 문제에 대해 선형 시간 O(T) 해법을 달성할 수 있는가?
• RQ4 시나리오 트리가 있는 확률적 UC 문제로 접근를 확장할 수 있으며, 그 결과 시간 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ5 확장형 포지션은 최적성과 정수성을 보장하면서도 의사결정 변수의 물리적 해석을 유지하는가?

주요 결과

• 일반적인 볼록 비용 함수를 위한 제안된 동적 프로그래밍 알고리즘은 시간 복잡도를 O(T³)에서 O(T²)로 감소시켜 계산 효율성을 크게 향상시켰다.
• 혼합정수볼록계획문제를 볼록계획문제로 변환하는 확장형 포지션이 개발되었으며, 변수의 물리적 해석을 통해 정수 해를 보장하였다.
• 조각별 선형 비용 함수의 경우 결정적 UC 문제에 대해 선형 시간 O(T) 알고리즘을 유도하였으며, 이는 이전 방법들을 초월하였다.
• 확률적 UC 문제에 대해 O(N) 시간 알고리즘을 개발하였으며, N은 시나리오 트리의 노드 수이다. 이는 대규모 확률적 모델의 스케일러블한 해법을 가능하게 하였다.
• 결정적 및 확률적 UC 문제에 대한 확장형 포지션은 선형계획문제를 풀었을 때 최적의 정수 해를 보장하며, 정수계획문제의 필요성을 제거하였다.
• 확장형 포지션에서 변수의 물리적 의미—예를 들어 발전량, 가동 여부, 기동 상태—를 명시적으로 도출하여 모델의 해석 가능성과 실용성 향상을 도모하였다.