[논문 리뷰] Polynomial-time Classical Simulation for One-dimensional Quantum Gibbs States

Tomotaka Kuwahara, Keiji Saito|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 23.

Quantum many-body systems참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 유한한 온도에서 1차원 양자 금속 상태의 분할 함수를 다항 시간 내에 근사하는 고전적 알고리즘을 제시한다. 상관관계의 지수적 분포와 Baker-Campbell-Hausdorff 전개의 정교한 분석을 활용하여, 자유 에너지를 오차 𝜖 이내로 계산할 수 있으며, 이 경우 비용은 𝒪(n ⋅ poly(1/𝜖))이며 다항식의 차수는 𝛽에 대해 e^{𝒪(𝛽)} 의 형태를 띤다. 이는 문제를 P에서 효율적으로 해결 가능함을 증명한다.

ABSTRACT

This paper discusses a classical simulation to compute the partition function (or free energy) of generic one-dimensional quantum many-body systems. Many numerical methods have previously been developed to approximately solve one-dimensional quantum systems. However, there exists no exact proof that arbitrary one-dimensional quantum Gibbs states can be efficiently solved by a classical computer. Therefore, the aim of this paper is to prove this with the clustering properties for arbitrary finite temperatures $β^{-1}$. We explicitly show an efficient algorithm that approximates the partition function up to an error $ε$ with a computational cost that scales as $n\cdot { m poly}(1/ε)$, where the degree of the polynomial depends on $β$ as $e^{O(β)}$. Extending the analysis to higher dimensions at high temperatures, we obtain a weaker result for the computational cost n\cdot (1/ε)^{\log^{D-1} (1/ε)}, where $D$ is the lattice dimension.

연구 동기 및 목표

• 임의의 유한한 온도에서 일반적인 1차원 양자 다체계의 분할 함수를 근사하는 데 필요한 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 자유 에너지의 1/poly(n) 정밀도 내에서의 결정 문제를 P에 속함을 증명하여, 양자 다체물리학 분야에서 오랫동안 남아 있던 열린 문제를 해결하는 것.
• 고온 조건 하에서 고차원 시스템으로의 분석을 확장하여 계산 비용의 스케일링을 특성화하는 것.
• Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) 전개에 대한 개선된 경계를 통해 양자 금속 상태에서 국소 근사의 사용을 엄밀히 정당화하는 것.

제안 방법

• 1차원 금속 상태에서의 양자 근사 마르코프 성질과 상관관계의 지수적 분포를 활용하여 관측량의 국소 근사를 가능하게 한다.
• 시간 순서 지수함수로 표현된 국소 연산자를 나타내기 위해 Dyson 전개를 적용하여 분할 함수의 통제 가능한 근사를 가능하게 한다.
• 반복 공액 연산자의 노름에 대한 정교한 경계를 적용: ||ad_H^m(O_L')|| ≤ (6km/(γ log m))^m으로, 이는 1D 시스템에서 BCH 전개의 수렴을 보장한다.
• 블록-스핀 감소 기법을 사용하여 크기 l인 영역에서 국소 관측량의 트레이스를 근사하며, l은 𝒪(ξ e^{𝒪(𝛽)} log(1/𝜖))로 선택된다.
• 국소 근사에 포함된 항의 수를 추정하여 계산 비용의 경계를 유도하여, 1D의 경우 비용이 d^{𝒪(ξ e^{𝒪(𝛽)} log(1/𝜖))} 임을 도출한다.
• 고차원으로의 프레임워크 확장을 위해 국소 영역의 부피 스케일링을 고려하여, 고온에서의 상관관계 분포 조건 하에서 비용이 (1/𝜖)^{𝒪(ξ^D log^{D-1}(1/𝜖))} 임을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 1차원 양자 금속 상태의 분할 함수는 고전 컴퓨터에서 다항 시간 내에 계산될 수 있는가?
• RQ2 1차원 시스템에서 시스템 크기 n과 원하는 정밀도 𝜖에 따라 계산 비용의 정확한 스케일링은 어떻게 되는가?
• RQ3 고온에서의 상관관계 분포를 가정할 때, 고차원 시스템에서 분할 함수의 계산 복잡도는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 1D 시스템에서 Baker-Campbell-Hausdorff 전개의 수렴이 증명 가능한 효율적 고전적 시뮬레이션을 가능하게 하는가? 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?

주요 결과

• 1차원 양자 금속 상태의 분할 함수는 오차 𝜖 이내로 𝒪(n ⋅ poly(1/𝜖)) 시간 내에 근사 가능하며, 다항식의 차수는 𝛽에 대해 e^{𝒪(𝛽)} 의 형태를 띠어, 이는 고전적 효율적 시뮬레이션을 증명한다.
• 1D의 경우 계산 비용은 d^{𝒪(ξ e^{𝒪(𝛽)} log(1/𝜖))} 로 스케일링되며, ξ는 상관 길이이고 지수는 𝛽에 대해 지수적으로 의존한다.
• 고차원(D ≥ 2)에서는 고온에서의 상관관계 분포 조건 하에서 계산 비용은 (1/𝜖)^{𝒪(ξ^D log^{D-1}(1/𝜖))} 로 스케일링되며, 이는 1/𝜖에 대해 초다항적이지만 다항식보다는 더 큰 비율이다.
• 핵심 기술적 진전은 반복 공액 연산자에 대한 새로운 경계: ||ad_H^m(O_L')|| ≤ (6km/(γ log m))^m 로, 이는 1D 시스템에서 임계 시간 이후에도 BCH 전개의 수렴을 보장한다.
• 이 결과는 자유 에너지의 단위 격자당 1/poly(n) 정밀도 내에서 계산하는 결정 문제는 1D 시스템에서 P에 속함을 시사한다.
• 고차원에서 비가환 해밀토니언의 경우, 이 방법은 임계 역온도 𝛽_c = 𝒪(1) 이상에서 국소 근사의 성립이 실패함에 따라 붕괴된다.