[논문 리뷰] Polynomials with Surjective Arboreal Galois Representations Exist in Every Degree

Joel Specter|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 수체 $E$ 와 모든 양의 정수 $n$ 에 대해, 모든 반복 함수가 기약이고 관련된 나무형 갈루아 표현이 정규 $n$-진수 나무의 자기동형군으로 전사가 되는 모닉 다항식 $f \in E[X]$ 가 존재한다는 Odoni의 추측을 증명한다. 저자들은 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$ 형태의 가중족을 사용하여 이러한 다항식을 명시적으로 구성하며, $\mathbb{Q}$ 에서 무한히 많은 $A$ 에 대해, $E/\mathbb{Q}$ 가 유한한 소수를 제외한 곳에서 분해되지 않는 경우, 표현이 $E$ 에서 전사가 됨을 보여준다.

ABSTRACT

Let~$E$ be a Hilbertian field of characteristic~$0$. R.W.K. Odoni conjectured that for every positive integer~$n$ there exists a polynomial~$f\in E[X]$ of degree~$n$ such that each iterate~$f^{\circ{k}}$ of~$f$ is irreducible and the Galois group of the splitting field of~$f^{\circ k}$ is isomorphic to the automorphism group of a regular,~$n$-branching tree of height~$k.$ We prove this conjecture when~$E$ is a number field.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 Hilbertian 체에서 전사 나무형 갈루아 표현을 갖는 다항식의 존재에 대한 Odoni의 추측을 해결하기 위해.
• 유한한 소수를 제외한 곳에서 분해되지 않는 수체에서 이러한 다항식의 존재를 확립하기 위해.
• 전사 나무형 갈루아 표현을 갖는 다항식의 명시적 가중족 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$ 를 구성하기 위해, 이는 무한히 많은 $A \in \mathbb{Q}$ 에 대해 성립한다.
• 0의 전이수 나무에서 갈루아 작용이 정규 $n$-분지 나무의 전체 자기동형군과 동형임을 보장하기 위해.
• 갈루아 표현의 상에 합동부군 $\Gamma(N)$ 이 포함되어 있음을 보여주어, 국소 조건과 약한 근사법을 통해 전사성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 모든 반복 함수가 $E$ 에서 기약이 되도록 보장하기 위해, $a < n$ 인 다항식의 가중족 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$ 를 $A \in \mathbb{Q}$ 에 따라 매개변수화한다.
• 소수 $p_0, p_k, p_\infty$ 에서의 국소 조건을 사용하여, 관성군의 상이 $\Gamma(N)$ 의 생성자들과 동형형인 원소들을 포함하도록 하여, 이들이 위상적으로 밀도 부분군을 생성하도록 한다.
• Krasner의 보조정리를 적용하여, $\ell$-진 이웃에서 기저 값에 가까운 $A$ 에 대해, $f(X,A)$ 의 분해체가 $S_n$-확장임을 보인다.
• 약한 근사법을 사용하여, 유한한 장소 집합에서 국소 조건을 만족하는 무한히 많은 유리수 값 $A$ 를 구성함으로써, 상이 $\Gamma(1)$ 을 포함하도록 보장한다.
• 유한한 수의 장소에서 국소 가정들 (A.1)–(A.8) 의 목록을 확인하여, 갈루아 표현의 상이 $\Gamma(1)$ 을 포함함을 검증한다.
• 특정 소수에서 분해되지 않는 $E$ 가 갈루아임을 이용하여, 갈루아군 $G_E$ 가 관성군의 정규폐쇄를 포함함을 보장함으로써, $E$ 에서도 전사성이 유지됨을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 양의 정수 $n$ 과 수체 $E$ 에 대해, 모든 반복 함수가 기약이고 나무형 갈루아 표현이 정규 $n$-진수 나무의 자기동형군으로 전사가 되는 모닉 다항식 $f \in E[X]$ 가 존재하는가?
• RQ2 이러한 다항식은 $\mathbb{Q}$ 에서의 일변수 가중족을 통해 명시적으로 구성될 수 있는가?
• RQ3 매개변수 $A$ 에 대한 어떤 국소 조건이, 나무형 갈루아 표현의 상이 어떤 $N$ 에 대해 $\Gamma(N)$ 을 포함함을 보장하는가?
• RQ4 약한 근사법과 $p$-진 변형을 어떻게 사용하여 전사 표현을 갖는 무한히 많은 $A \in \mathbb{Q}$ 를 생성할 수 있는가?
• RQ5 $E/\mathbb{Q}$ 가 어떤 조건을 만족할 경우, $\mathbb{Q}$ 에서의 전사 나무형 갈루아 표현이 $E$ 로의 기저변환 후에도 유지되는가?

주요 결과

• 모든 유한한 소수를 제외한 곳에서 분해되지 않는 수체 $E$ 와 모든 $n \geq 1$ 에 대해, $a < n$ 인 다항식 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$ 가 존재하여, $f$ 의 모든 반복 함수가 $E$ 에서 기약이다.
• 무한히 많은 $A \in \mathbb{Q}$ 가 존재하여, $f_{a,A}$ 와 관련된 나무형 갈루아 표현이 정규 $n$-진수 나무의 자기동형군 $\mathrm{Aut}(T_f)$ 로 전사가 된다.
• 갈루아군 $G_E$ 의 나무형 표현에 의한 상은 합동부군 $\Gamma(1)$ 을 포함하며, 이는 위상적 생성과 함께 전사성을 암시한다.
• 기저 값 $A_0$ 를 $\ell$-진 이웃에서 변형하여, 유한한 소수 집합에서의 국소 조건을 만족하도록 하여, 상이 $\Gamma(1)$ 을 포함하도록 구성한다.
• 약한 근사법에 의해, 요구되는 국소 가정들 (A.1)–(A.8) 을 만족하는 무한히 많은 유리수 $A$ 가 존재하며, 이는 표현의 전사성을 보장한다.
• $f(X,A)$ 의 분해체는 모든 이러한 $A$ 에 대해 $S_n$-확장이며, 전이수 나무에서의 갈루아 작용은 $\mathrm{Aut}(T_f)$ 와 동형이다.