[논문 리뷰] Polytopal templates for the formulation of semi-continuous vectorial finite elements of arbitrary order

Adam Sky, Ingo Muench|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 07.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기저 단체에서 다각형 템플릿을 사용하여 임의의 순서의 H(curl) 및 H(div)-형상 유한요소를 구성하는 새로운 방법을 제안한다. 독립적인 H¹-형상 다항식 기저와 다각형 면에 정의된 벡터 템플릿을 조합함으로써, 일관된 Piola 변환을 통해 유일한 해를 가지며 형상하는 기저를 가능하게 하며, 이는 이완된 마이크로지형 모델에서 최적 수렴성을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

The Hilbert spaces $H(\mathrm{curl})$ and $H(\mathrm{div})$ are needed for variational problems formulated in the context of the de Rham complex in order to guarantee well-posedness. Consequently, the construction of conforming subspaces is a crucial step in the formulation of viable numerical solutions. Alternatively to the standard definition of a finite element as per Ciarlet, given by the triplet of a domain, a polynomial space and degrees of freedom, this work aims to introduce a novel, simple method of directly constructing semi-continuous vectorial base functions on the reference element via polytopal templates and an underlying $H^1$-conforming polynomial subspace. The base functions are then mapped from the reference element to the element in the physical domain via consistent Piola transformations. The method is defined in such a way, that the underlying $H^1$-conforming subspace can be chosen independently, thus allowing for constructions of arbitrary polynomial order. The base functions arise by multiplication of the basis with template vectors defined for each polytope of the reference element. We prove a unisolvent construction of Nédélec elements of the first and second type, Brezzi-Douglas-Marini elements, and Raviart-Thomas elements. An application for the method is demonstrated with two examples in the relaxed micromorphic model

연구 동기 및 목표

• 일반적인 다각형 기저 요소에서 고차수 H(curl) 및 H(div)-형상 유한요소를 체계적이고 유연하게 구성하는 방법을 개발하는 것.
• 기저 H¹-형상 다항식 기저의 선택을 벡터 유한요소 구성에서 분리함으로써 임의의 다항식 차수를 가능하게 하는 것.
• 기저 요소에 대한 템플릿 기반 구성으로 결과 벡터 기저의 유일성과 형상성 보장하는 것.
• 어려운 응용 분야인 이완된 마이크로지형 모델에서 방법의 타당성과 최적 수렴성을 입증하는 것.
• 기저 스칼라 다항식 기저에서 얻는 바람직한 성질(예: 크로네커 델타, 최적 복잡도)을 물려받는 프레임워크 제공하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 기저 요소에서 H¹-형상 다항식 기저와 기저 단체의 각 다각형(정점, 모서리, 면)에 연결된 사전 정의된 템플릿 벡터를 곱하여 벡터 기저 함수를 구성한다.
• 기저 삼각형과 기저 사면체에 대해 다각형 템플릿을 정의하여 정점, 모서리, 면에 벡터 방향을 할당함으로써 정확한 접선 또는 법선 연속성을 보장한다.
• 결과로 얻어진 벡터 기저 함수는 일관된 Piola 변환을 통해 물리적 요소로 매핑되며, H(curl) 및 H(div) 형상성 특성을 유지한다.
• 선형 독립성과 형상성 정리에 기반하여, Nédélec 요소(유형 I 및 II), BDM 요소, Raviart-Thomas 요소에 대해 기저의 유일성(유일해 존재)이 증명되었다.
• H¹ 다항식 기저(예: 라그랑주, 레지온드르, 베지에 다항식)의 선택을 독립적으로 가능하게 하여 임의의 다항식 차수를 제공하고, 기저의 성질을 그대로 물려받을 수 있다.
• 이 프레임워크는 라그랑주 및 베지에 다항식을 사용하여 이완된 마이크로지형 모델에 적용되었으며, 최적 수렴률을 입증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일관되고 템플릿 기반의 방법을 개발하여 다각형 기저 요소에서 임의의 순서의 H(curl) 및 H(div)-형상 유한요소를 구성할 수 있는가?
• RQ2 기저 H¹-형상 다항식 기저를 벡터 유한요소 구성에서 분리하면서도 유일성과 형상성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 다각형 템플릿은 요소 간면에서 정확한 접선 또는 법선 연속성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이 방법은 이완된 마이크로지형 모델과 같은 복잡한 변분 문제에서 최적 수렴률을 달성할 수 있는가?
• RQ5 스칼라 H¹ 기저의 성질(예: 크로네커 델타, 희박성)이 결과 벡터 유한요소 기저로 어떻게 전이되는가?

주요 결과

• 이 방법은 기저 삼각형과 기저 사면체에서 Nédélec 요소의 제1형 및 제2형, BDM 요소, Raviart-Thomas 요소에 대해 일관된 기저를 생성한다.
• 이완된 마이크로지형 모델에서 삼차 요소를 사용할 경우 변위에 대해 L²-노름에서 O(h²)의 최적 수렴률, 마이크로왜곡에 대해 O(h³)의 수렴률을 달성하였다.
• 고차 요소일지라도 일관된 Piola 변환을 통해 H(curl) 및 H(div) 형상성이 보장된다.
• 라그랑주 다항식에서 유래한 크로네커 델타 성질과 베지에 다항식에서 유래한 최적 복잡도 성질을 기반으로 구성이 유산된다.
• 기저 H¹-형상 다항식 공간의 단순한 업그레이드만으로도 임의의 다항식 차수를 가능하게 하며, 이는 프레임워크의 유연성을 보여준다.
• 수치 결과는 h-적응 기반에서 최적 수렴을 확인하였으며, 수렴률이 이론적 기대와 일치함을 입증하였다.