[논문 리뷰] Polytopes and algebras of grafted trees: Stellohedra

Stefan Forcey, Marı́a Ronco외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 오ペ라드 이론에서 유래한 조합론적 구조인 페인티드 트리(painted trees)가 특정 다면체, 특히 스텔로헤드라(stellohedra)와 일반화된 페르뮤토헤드라(generalized permutohedra)의 면 포지트( face posets)의 최소 원소(minimal elements)와 대응됨을 규명한다. 이들은 단방향 단위를 지닌 계층적 호프 대수 구조를 지닌다. 또한 순서형 이진 트리, 비순서형 이진 트리, 레이블이 부여된 코리라(labeled corollas)의 치환(substitutions)을 통한 종류 이론(species-theoretic)의 면 수세기 방법을 제시하며, 스텔로헤드라가 완전 그래프에 대한 그래프 컴포지히드라(graph composihedra)의 업그레이드된 형태임을 드러낸다.

ABSTRACT

Combinatorial Hopf algebras of trees exemplify the connections between operads and bialgebras. Painted trees were introduced recently as examples of how graded Hopf operads can bequeath Hopf structures upon compositions of coalgebras. We put these trees in context by exhibiting them as the minimal elements of face posets of certain convex polytopes. The full face posets themselves often possess the structure of graded Hopf algebras (with one-sided unit). We can enumerate faces using the fact that they are structure types of substitutions of combinatorial species. Species considered here include ordered and unordered binary trees and ordered lists (labeled corollas). Some of the polytopes that constitute our main results are well known in other contexts. First we see the classical permutohedra, and then certain generalized permutohedra: specifically the graph associahedra of suspensions of certain simple graphs. As an aside we show that the stellohedra also appear as liftings of generalized permutohedra: graph composihedra for complete graphs. Thus our results give examples of Hopf algebras of tubings and marked tubings of graphs. We also show an alternative associative algebra structure on the graph tubings of star graphs.

연구 동기 및 목표

• 특정 다면체인 스텔로헤드라와 단순 그래프의 스위스처닝(suspensions)의 그래프 아소시아헤드라에서 면 포지트의 최소 원소로 페인티드 트리를 식별함으로써, 이들을 볼록 다면체의 기하적 프레임워크에 위치짓는다.
• 이러한 다면체의 전체 면 포지트가 단방향 단위를 지닌 계층적 호프 대수 구조를 지닌다는 것을 보여준다.
• 특히 순서형 이진 트리, 비순서형 이진 트리, 레이블이 부여된 코리라의 치환을 통해 조합론적 종류 이론을 이용해 면을 수세기 한다.
• 스텔로헤드라가 완전 그래프에 대한 그래프 컴포지히드라의 업그레이드된 형태임을 보이며, 일반화된 페르뮤토헤드라의 광범위한 프레임워크 내에 통합됨을 입증한다.
• 성별 그래프의 튜빙(tubings)에 대해 기존의 대수적 구조 외의 다른 결합 대수적 구조를 구성한다.

제안 방법

• 스텔로헤드라와 단순 그래프의 스위스처닝의 그래프 아소시아헤드라에서 면 포지트의 최소 원소로 페인티드 트리를 식별한다.
• 조합론적 종류 이론을 활용해 면의 구조를 순서형 이진 트리, 비순서형 이진 트리, 레이블이 부여된 코리라의 종류 치환으로 모델링한다.
• 이러한 다면체의 면 포지트가 단방향 단위를 지닌 계층적 호프 대수 구조를 지닌다는 것을 확립한다.
• 기존의 일반화된 페르뮠토헤드라 및 그래프 아소시아헤드라 이론을 활용해, 스텔로헤드라가 완전 그래프에 대한 그래프 컴포지히드라의 업그레이드된 형태임을 보인다.
• 성별 그래프의 조합론적 구조를 활용해 튜빙에 대해 다른 결합 대수적 구조를 구성한다.
• 오페라드와 비알제브라의 프레임워크를 적용해 나무의 대수적 구조와 다면체 내 기하적 실현 간의 연결을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 페인티드 트리는 스텔로헤드라와 그래프 아소시아헤드라와 같은 볼록 다면체의 면 포지트와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 이러한 다면체의 면 포지트는 계층적 호프 대수 구조를 지닐 수 있으며, 만약 그렇다면 그 구조의 성질은 무엇인가?
• RQ3 스텔로헤드라는 어떻게 일반화된 페르뮠토헤드라, 특히 완전 그래프에 대한 그래프 컴포지히드라의 업그레이드된 형태로 나타나는가?
• RQ4 조합론적 종류 이론과 치환 연산을 통해 이러한 다면체의 면을 어떻게系통적으로 기술할 수 있는가?
• RQ5 성별 그래프의 튜빙에 대해 다른 결합 대수적 구조가 존재하는가, 그리고 이는 면 포지트의 호프 대수 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 페인티드 트리는 단순 그래프의 스위스처닝에서 유도된 스텔로헤드라와 일반화된 페르뮠토헤드라의 면 포지트의 최소 원소로 실현된다.
• 이러한 다면체의 전체 면 포지트는 단방향 단위를 지닌 계층적 호프 대수 구조를 자연스럽게 지닌다. 이는 기존의 나무에 대한 호프 대수 구성의 확장이다.
• 면의 수세기는 종류 이론적 치환을 통해 달성되며, 면은 순서형 이진 트리, 비순서형 이진 트리, 레이블이 부여된 코리라로 구성된 구조와 대응된다.
• 스텔로헤드라가 완전 그래프에 대한 그래프 컴포지히드라의 업그레이드된 형태임을 입증함으로써, 일반화된 페르뮠토헤드라의 광범위한 프레임워크 내에 통합됨을 보여준다.
• 성별 그래프의 튜빙에 대해 새로운 대수적 실현을 제공하는 다른 결합 대수적 구조가 구성된다.
• 결과적으로, 조합론적 종류 이론과 그래프 튜빙이 핵심 다면체의 면 포지트를 뒷받침한다는 점을 보여주며, 오페라드, 비알제브라, 다면체적 구조를 통합한다.