[논문 리뷰] Polytopes of Minimum Positive Semidefinite Rank

João Gouveia, Richard Z. Robinson외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 23.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $n$-차원 다면체의 정규 양측행렬(positive semidefinite, psd) 랭크가 최소 $n+1$임을 증명하고, 이 최솟값을 달성하는 모든 다면체를 특성화한다. 이는 이러한 다면체가 정확히 랭크 $n+1$인 psd 분해를 갖는 슬랙 행렬을 지닌다는 것을 증명하며, 2차원 및 3차원 다면체 중 최소 psd 랭크를 갖는 다면체를 완전히 분류한다. 이에는 단체, 피라미드, 바이단체, 각기둥, 옥타에드론 등이 포함된다.

ABSTRACT

The positive semidefinite (psd) rank of a polytope is the smallest $k$ for which the cone of $k imes k$ real symmetric psd matrices admits an affine slice that projects onto the polytope. In this paper we show that the psd rank of a polytope is at least the dimension of the polytope plus one, and we characterize those polytopes whose psd rank equals this lower bound. We give several classes of polytopes that achieve the minimum possible psd rank including a complete characterization in dimensions two and three.

연구 동기 및 목표

• 주어진 $n$-차원 다면체의 최소 가능한 양측행렬(positive semidefinite, psd) 랭크를 결정하는 것.
• psd 랭크가 하한값인 $n+1$과 일치하는 모든 다면체를 특성화하는 것.
• 2차원 및 3차원 다면체 중 최소 psd 랭크를 갖는 다면체를 완전히 분류하는 것.
• 비완전 그래프가 psd 랭크 $n+1$을 갖는 안정집합 다면체를 가질 수 있는지 조사하는 것.
• 슬랙 행렬 분해를 통해 psd 랭크와 조합적 구조 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 다면체의 psd 랭크를 정의하여, $k\times k$ 양측행렬 행렬의 아핀 절단에 의해 릿지(lift)가 가능한 최소 $k$로 정의한다.
• 다면체의 슬랙 행렬을 사용하여 psd 랭크를 비음수 행렬의 psd 분해와 연결한다.
• 특히 양측행렬 행렬의 콘 분해(cone factorization) 개념을 적용하여 최소 릿지 분석을 수행한다.
• 이중성과 쌍대성 원리를 활용하여 최소 psd 랭크를 달성하는 다면체의 조합적 유형을 분석한다.
• 특히 하다르드 제곱근을 포함한 슬랙 행렬의 부분행렬에 대한 랭크 분석을 통해 psd 랭크의 하한을 증명한다.
• 완전 그래프 정리와 홀, 반홀의 성질을 적용하여 안정집합 다면체를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 $n$-차원 다면체의 최소 가능한 psd 랭크는 무엇인가?
• RQ2 어떤 다면체가 최소 psd 랭크 $n+1$을 달성하는가?
• RQ3 2차원 및 3차원 다면체 중 psd 랭크 $n+1$을 갖는 다면체의 완전한 분류는 무엇인가?
• RQ4 비완전 그래프가 psd 랭크 $n+1$을 갖는 안정집합 다면체를 가질 수 있는가?
• RQ5 다면체의 psd 랭크는 그 슬랙 행렬의 조합적 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 $n$-차원 다면체의 psd 랭크는 최소 $n+1$이다.
• 다면체가 psd 랭크 $n+1$을 달성하는 것은 그 슬랙 행렬이 랭크 $n+1$인 psd 분해를 갖는 것과 정확히 동치이다.
• 2차원에서는 최소 psd 랭크를 갖는 다면체는 삼각형과 사각형이다.
• 3차원에서는 최소 psd 랭크를 갖는 다면체는 단체, 사각형 피라미드, 바이단체, 삼각기둥, 이평면 옥타에드론, 이평면 상자형 다면체이다.
• 그래프의 안정집합 다면체가 psd 랭크 $n+1$을 갖는 것은 그 그래프가 완전일 때에 한하여 성립한다.
• 홀 $H$가 $2m+1$개 정점으로 이루어져 있을 경우, $\textup{STAB}(H)$의 슬랙 행렬은 psd 랭크가 $2m+2$를 초과하므로 최소 psd 랭크를 달성하지 못한다.