[논문 리뷰] Pontryagin's maximum principle for optimal control of the nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems in two dimensions

Tania Biswas, Sheetal Dharmatti외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 23.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템을 이용해 불미스러운 유체 혼합물을 모델링하는 2차원 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템에 대한 최적 제어 문제에 대해 포트리아진의 최대원리를 수립한다. 분포형 제어 문제로 비용 기능을 최소화하는 방식으로 공식화함으로써, 저자들은 최적 제어의 존재성을 증명하고, 수반 변수를 통해 일阶 필수 최적성 조건을 유도하여 상변화 유체 시스템에서 피드백 제어를 위한 이론적 기반을 제공한다.

ABSTRACT

In this work, we address some optimal control problems related to the evolution of two isothermal, incompressible, immisible fluids in a two dimensional bounded domain. A distributed optimal control problem is formulated as the minimization of a suitable cost functional subject to the controlled nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations. We prove the existence of an optimal control and then establish the Pontryagin's maximum principle for optimal control of such systems, which gives the first-order necessary conditions of optimality. We characterize the optimal control using the adjoint variable.

연구 동기 및 목표

• 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 방정식에 의해 지배되는 2차원 비압축성 불미스러운 유체 혼합물에 대한 최적 제어 문제를 다루는 것.
• 비용 기능을 최소화하는 분포형 제어 문제에 대해 최적 제어의 존재성을 증명하는 것.
• 이러한 비국소 PDE 시스템에 대해 포트리아진의 최대원리를 사용하여 일阶 필수 최적성 조건을 수립하는 것.
• 이러한 유체 혼합물 모델에 대해 수반 변수 방법을 통해 최적 제어를 특성화하는 것.

제안 방법

• 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템을 만족시키는 비용 기능을 최소화하는 분포형 최적 제어 문제를 수립하는 것.
• 변분 방법을 적용하여 제어 문제의 일阶 최적성 조건을 도출하는 것.
• 상태 방정식과 관련된 수반 시스템을 도입하여 최적 제어를 특성화하는 것.
• 수반 변수를 사용하여 포트리아진의 최대원리 형태의 최적성 필요 조건을 도출하는 것.
• 적절한 함수 공간에서 컴팩턴스와 약한 수렴의 논리를 활용하여 최적 제어의 존재성을 확립하는 것.
• 비국소성과 비선형성을 고려할 수 있도록 2차원 유계 영역 내에서 작업하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템에 대해 최적 제어가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 비국소 쌍방향 PDE 시스템에 대해 일阶 필수 최적성 조건을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 수반 변수는 이러한 유체 혼합물 모델의 최적 제어를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 포트리아진의 최대원리는 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템에 엄밀하게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 2차원 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템에 의해 지배되는 분포형 제어 문제에 대해 최적 제어가 존재한다.
• 이 비국소 PDE 시스템에 대해 포트리아진의 최대원리를 사용하여 일阶 필수 최적성 조건이 수립된다.
• 최적 제어는 수반 변수를 통해 특성화되며, 이는 상태 방정식과 코스태트 방정식을 연결한다.
• 유도된 최적성 시스템은 상태 방정식, 수반 방정식, 비용 기능의 기울기를 포함하는 최적성 조건을 포함한다.