[논문 리뷰] Population viewpoint on Hawkes processes

Alexandre Boumezoued|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 28인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일반 이민자(immigrants)를 고려한 선형 하크스 과정에 대한 인구 시각을 제안하며, 시스템을 이민과 출생을 고려한 연령 구조 인구 모델로 모델링한다. 과거 사건의 연령 피라미드를 추적함으로써 비정상 하크스 과정에 대한 새로운 분포 성질을 유도하며, 지수적 비옥도 함수를 일반화하고 새로운 적분미분방정식 프레임워크를 통해 정확한 라플라스 변환 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper focuses on a class of linear Hawkes processes with general immigrants. These are counting processes with shot noise intensity, including self-excited and externally excited patterns. For such processes, we introduce the concept of age pyramid which evolves according to immigration and births. The virtue if this approach that combines an intensity process definition and a branching representation is that the population age pyramid keeps track of all past events. This is used to compute new distribution properties for a class of linear Hawkes processes with general immigrants which generalize the popular exponential fertility function. The pathwise construction of the Hawkes process and its underlying population is also given.

연구 동기 및 목표

• 연령과 마킹을 기반으로 한 인구역학 프레임워크를 사용하여 일반 이민자를 고려한 선형 하크스 과정을 모델링한다.
• 기존 하크스 과정 분석에서 정상성 가정의 한계를 극복한다.
• 모든 과거 사건을 추적하는 연령 피라미드를 통해 하크스 과정의 경로 기반 구성을 개발한다.
• 비정상 하크스 과정에 대한 새로운 분포 성질, 특히 수확 과정의 라플라스 변환을 도출한다.
• 마킹에 의존하는 비옥도 함수의 일반화를 통해 일반 마킹 기반 자극 커널을 允許한다.

제안 방법

• 각 개인이 연령과 마킹을 가지는 분기 이민-출생 과정으로 하크스 과정을 모델링한다.
• 연령 피라미드를 이민과 출생 사건에 의해 변화하는 확률적 과정으로 정의한다.
• 강하도가 과거 모든 사건의 연령과 마킹에 따라 결정되는 샷노이즈 강하도 표현을 사용한다.
• 분기 구조와 라플라스 변환 기법을 활용하여 생성함수에 대한 적분미분방정식 시스템을 유도한다.
• 경로 기반 시뮬레이션을 위해 희석(Thinning) 및 포아송 점 측도 구성 기법을 적용한다.
• 생성함수 G(t)의 도함수를 포함하는 재귀적 구조를 통해 라플라스 변환의 함수방정식을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 이민자를 고려한 비정상 하크스 과정의 역학을 인구 기반 프레임워크로 어떻게 묘사할 수 있는가?
• RQ2 정상성 가정 없이도 수확 과정의 정확한 분포 성질은 무엇인가?
• RQ3 과거 사건의 연령 피라미드가 과정의 전체 역사 정보를 어떻게 코딩하고 분포 계산을 가능하게 하는가?
• RQ4 일반 자극 커널에 대해 수확 과정의 라플라스 변환을 닫힌 형태로 유도할 수 있는가?
• RQ5 마킹에 의존하는 비옥도 함수는 과정의 분포 행동을 어떻게 형상화하는가?

주요 결과

• 논문은 수확 과정 NT와 강하도의 적분 ⟨ZT, φ⟩에 대한 라플라스 변환에 대해 생성함수 G(t)의 도함수를 이용한 명시적 표현을 도출한다.
• 라플라스 변환은 G와 그 도함수의 초기값의 선형 조합의 지수로 주어지며, 계수는 초기 조건과 파rameter에 따라 달라진다.
• 라플라스 변환의 함수방정식 해는 G(t)의 도함수를 포함하는 적분미분방정식 시스템으로 축소된다.
• 지수적 비옥도 함수에 의존하는 이전 결과를 일반화하여, 마킹에 따라 달라지는 임의의 음이 아닌 자극 커널을 허용한다.
• 연령 피라미드 접근법은 모든 과거 사건을 추적함으로써 정상성 없이도 정확한 경로 기반 구성과 분포 분석을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 마킹된 점 과정과 희석을 통해 하크스 과정의 경로 기반 구성법을 제공하며, 고전적 군집 표현을 비정상 및 일반 이민 설정으로 확장한다.