[논문 리뷰] Porous media, Fast diffusion equations and the existence of global weak solution for the quasi-solution of compressible Navier-Stokes equations

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 16.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 15인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 특정 점도 법칙 하에 다공성 매체, 빠른 확산, 열 방정식과의 연결을 통해 압축성 레이놀즈 수 나비에-스토크스 방정식의 준해에 대한 전역 약한 해의 존재성을 새롭게 제안된 프레임워크를 통해 증명한다. $\mu(\rho) = \rho^\alpha$ 이며 $\alpha > 1$일 경우, 밀도는 준유한 전파 속도를 보이며, 2차원에서 큰 초기 자료가 존재하더라도 질량 $\|\rho_0\|_{L^1}$의 바르네블라트 해로 점점 수렴함을 보인다.

ABSTRACT

In \cite{arxiv,arxiv1,Kor,cras1,cras2}, we have developed a new tool called extit{quasi solutions} which approximate in some sense the compressible Navier-Stokes equation. In particular it allows us to obtain global strong solution for the compressible Navier-Stokes equations with extit{large} initial data on the irrotational part of the velocity ( extit{large} in the sense that the smallness assumption is subcritical in terms of scaling, it turns out that in this framework we are able to obtain a family of large initial data in the energy space in dimension N=2). In this paper we are interested in proving the result anounced in \cite{cras3} concerning the existence of global weak solution for the quasi-solutions, we also observe that for some choice of initial data (irrotationnal) the quasi solutions verify the porous media, the heat equation or the fast diffusion equations in function of the structure of the viscosity coefficients. In particular it implies that it exists classical quasi-solutions in the sense that they are $C^{\infty}$ on $(0,T) imes\R^{N}$ for any $T>0$. Finally we show the convergence of the global weak solution of compressible Navier-Stokes equations to the quasi solutions in the case of a vanishing pressure limit process. In particular we show that for highly compressible equations the speed of propagation of the density is quasi finite when the viscosity corresponds to $μ(ρ)=ρ^α$ with $α>1$. Furthermore the density is not far from converging asymptotically in time to the Barrenblatt solution of mass the initial density $ρ_{0}$.

연구 동기 및 목표

• 대규모 초기 자료를 가진 에너지 공간에서의 압축성 나비에-스토크스 방정식에 대한 준해에 대한 전역 약한 해 존재성을 확립하는 것.
• 특정 점도 구조 하에서 준해와 기초적인 비선형 편미분방정식—다공성 매체, 빠른 확산, 열 방정식—사이의 관계를 명확히 하는 것.
• 높은 압축성 유동에서 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$, $\alpha > 1$ 조건 하에서 밀도의 자유 경계 전파 속도를 분석하여 준유한 전파 속도를 보이는 것.
• 밀도의 장기적 점근적 행동을 조사하여 질량 $\|\rho_0\|_{L^1}$의 바르네블라트 해로 수렴함을 증명하는 것.

제안 방법

• 에너지 공간에서 대규모 초기 자료를 가진 압축성 나비에-스토크스 방정식에 대한 전역 해를 구성하기 위한 정규화 도구로서 '준해' 개념을 도입한다.
• 자기 유사 변환 하에서 시스템의 척도 불변성을 분석하여, 점도 매개변수에 따라 다공성 매체 또는 빠른 확산 방정식과 연결되는 유사성 지수 $\alpha$, $\alpha_1$, $\beta$를 도출한다.
• $L^1$ 및 $L^p$ 공간에서 컴actness와 약한 수렴성 추론을 사용하여, 근사 해 $\rho_\epsilon$ 가 $C([0,T], L^1(\mathbb{R}^N))$ 내에서 극한 $\rho$ 로 강한 수렴함을 증명한다.
• 보간 및 $L^p$ 감쇠 추정을 적용하여 $\|\rho_\epsilon(t)\|_{L^p}$ 가 시간에 따라 감쇠됨을 보이며, 비선형 감쇠 효과를 나타낸다.
• 점근적 행동의 기준으로 바르네블라트 해를 사용하여, $\epsilon$ 이 작을 경우 $t \to \infty$ 일 때 $\|\rho_\epsilon(t) - U_m(t)\|_{L^1} \to 0$ 임을 증명한다.
• 압력이 점점 줄어드는 극한 과정에서, 압축성 나비에-스토크스 방정식의 전역 약한 해가 준해로 수렴함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축성 나비에-스토크스 방정식의 준해가 어떤 조건에서 시간에 대해 전역적으로 존재하는 약한 해로 존재하는가?
• RQ2 점도 계수의 구조 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$ 및 $\lambda(\rho) = \rho^\alpha$ 가 다공성 매체 또는 빠른 확산 방정식과 어떤 방식으로 연결되는가?
• RQ3 점도 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$ 이며 $\alpha > 1$ 인 경우, 밀도의 자유 경계 전파 속도는 어떠한가?
• RQ4 밀도가 질량 $\|\rho_0\|_{L^1}$ 의 바르네블라트 해로 점점 수렴하는가?
• RQ5 압력이 점점 줄어드는 극한 과정에서, 압축성 나비에-스토크스 방정식의 전역 약한 해와 준해 사이의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 2차원에서 에너지 공간에 큰 초기 자료가 존재하더라도, 압축성 나비에-스토크스 방정식의 준해 시스템에 전역 약한 해가 존재한다.
• 비소용성 초기 자료와 점도 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$ ($\alpha > 1$) 조건 하에서 준해는 빠른 확산 방정식을 만족하며, 임의의 $T > 0$ 에 대해 $(0,T) \times \mathbb{R}^N$ 에서 $C^\infty$ 임을 보인다.
• 점도 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$ 이며 $\alpha > 1$ 인 경우, 밀도의 자유 경계 전파 속도는 준유한 속도를 보이며, $\rho_\epsilon$ 가 $C([0,T], L^1(\mathbb{R}^N))$ 내에서 강한 수렴함을 보인다.
• $\epsilon$ 이 작을 경우 $\rho_\epsilon$ 의 $L^p$ 노름은 시간에 따라 감쇠되며, 이는 비선형 감쇠 효과를 나타내며, 감쇠 속도는 $\|\rho(t)\|_{L^p} \leq C t^{-\sigma_p} \|\rho_0\|_{L^1}^{\alpha_p}$ 로 주어진다.
• $t \to \infty$ 일 때, 해 $\rho_\epsilon(t, \cdot)$ 는 충분히 작은 $\epsilon$ 에 대해 $L^1$ 노름에서 질량 $m = \|\rho_0\|_{L^1(\mathbb{R}^N)}$ 의 바르네블라트 해 $U_m$ 으로 수렴한다.
• 압력이 점점 줄어드는 극한 과정에서, 압축성 나비에-스토크스 방정식의 전역 약한 해는 준해로 수렴함을 확인하여, 준해 프레임워크의 일관성을 입증한다.