[논문 리뷰] Port-Hamiltonian formulation and structure-preserving discretization of hyperelastic strings

Philipp L. Kinon, Tobias Thoma외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 21.

Control and Stability of Dynamical Systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 재료 거동을 갖는 기하학적으로 정확한 초탄성 끈에 대해 구조를 유지하는 공간적 및 시간적 이산화를 가능하게 하는 포트-해밀토니안(Port-Hamiltonian, PH) 형식을 제안한다. 이는 혼합 유한요소법과 이산 기울기(discrete gradients)를 통해 이루어지며, 결과적으로 유한차원 PH 모델이 에너지 보존, 수동성, 그리고 전력 공액 포트를 유지한다. 이는 중간점 규칙과 같은 기존 시간 적분기법보다 비선형 재료에서 에너지 일관성 면에서 뛰어나다.

ABSTRACT

Port-Hamiltonian (PH) systems provide a framework for modeling, analysis and control of complex dynamical systems, where the complexity might result from multi-physical couplings, non-trivial domains and diverse nonlinearities. A major benefit of the PH representation is the explicit formulation of power interfaces, so-called ports, which allow for a power-preserving interconnection of subsystems to compose flexible multibody systems in a modular way. In this work, we present a PH representation of geometrically exact strings with nonlinear material behaviour. Furthermore, using structure-preserving discretization techniques a corresponding finite-dimensional PH state space model is developed. Applying mixed finite elements, the semi-discrete model retains the PH structure and the ports (pairs of velocities and forces) on the discrete level. Moreover, discrete derivatives are used in order to obtain an energy-consistent time-stepping method. The numerical properties of the newly devised model are investigated in a representative example. The developed PH state space model can be used for structure-preserving simulation and model order reduction as well as feedforward and feedback control design.

연구 동기 및 목표

• 기존의 끈에 대한 포트-해밀토니안(PH) 형식을 비선형 초탄성 재료 거동을 포함하도록 확장하기.
• 연속 시스템의 기하학적 및 에너지 구조를 유지하는 유한차원 PH 상태공간 모델을 개발하기.
• Gonzalez의 개념에 따라 이산 기울기를 사용하여 비선형 끈에 대해 에너지 일관성 있는 시간 적분을 확보하기.
• 명확히 정의된 포트를 통해 탄성 다물체 시스템 내에서 끈 간의 모듈러이고 전력 보존적인 연결을 가능하게 하기.
• 제안된 방법이 적재 단계 이후에도 에너지 보존을 유지함을 수치적으로 입증하기.

제안 방법

• 위치, 속도, 변형률, 응력 등을 독립 변수로 포함하는 혼합 변분 원리(허-와시즈 기반)를 사용하여 기하학적으로 정확한 끈의 운동을 기술한다.
• 포트-해밀토니안 프레임워크 내에서 초기경계값 문제의 약한 형태를 유도하며, 경계에서 전력 공액 포트(속도-력 쌍)를 명시적으로 규명한다.
• 위치와 속도에는 연속적 보간을, 변형률과 응력에는 비연속적 보간을 적용한 혼합 유한요소법을 사용하여 반산점 PH 모델을 도출한다.
• 에너지 일관성과 비선형 시스템에서의 수동성을 보장하기 위해 이산 기울기(Gonzalez의 방법) 기반 시간 적분 기법을 구현한다.
• 각 시간 단계에서 비선형 방정식을 풀기 위해 뉴턴 방법을 사용하며 잔차 정밀도를 $10^{-11}$로 설정하고, 혼합 경계 조건을 적용한다.
• 고무류 재료 특성과 시간에 따라 변하는 뉴만 경계력이 작용하는 끈 진자 예제를 사용하여 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적으로 정확한 끈에 대해 초탄성 재료 거동을 고려한 포트-해밀토니안 형식을 구성할 수 있는가? 전력 공액 구조를 유지하는가?
• RQ2 혼합 유한요소 이산화가 반산점 모델에서 PH 구조와 포트를 유지하는가?
• RQ3 이산 기울기가 적재 단계 이후에도 비선형 끈에 대해 에너지 일관성 있는 시간 적분을 보장할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 비선형 재료에서 에너지 보존 측면에서 은밀한 중간점 규칙과 비교해 어떻게 성능이 뛰어나게 되는가?
• RQ5 대표적인 동적 예제에서 유도된 구조를 유지하는 방법의 수치적 성질은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 PH 형식은 비선형 초탄성 재료 거동을 변형에너지 함수를 통해 성공적으로 통합하여 이전의 선형 PH 모델을 확장한다.
• 혼합 유한요소법을 통해 도출된 반산점 모델은 PH 구조, 포트, 인과관계를 유지하여 전력 보존적인 상호연결을 보장한다.
• 이산 기울기 시간 적분 기법은 적재 단계 이후 뉴턴 수렴 정밀도($10^{-11}$) 내에서 에너지 보존을 달성하여 수치적 에너지 일관성을 입증한다.
• 반면에 은밀한 중간점 규칙은 적재 단계 동안과 동일한 주기의 해밀토니안 증가를 보이며, 비선형 영역에서 에너지 보존에 실패함을 시사한다.
• 적재 이후 $t = 0.2$ 초 이후 이산 해밀토니안 $ frac{1}{2} ilde{H}_n$은 기계 정밀도 수준에서 일정하게 유지되며, 이는 방법의 구조 유지 성질을 확인한다.
• 이 방법은 향후 비선형 탄성 다물체 시스템의 차원 축소, 상태 추정, 피드백 제어 등에 적용 가능하다.