[논문 리뷰] Portfolio Insurance under a risk-measure constraint

Carmine De Franco, Peter Tankov|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 22.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 볼록한 통화 위험 측도 제약 조건 하에서 최적의 포트폴리오 인슈어런스를 다루며, 자산 운용자가 최소 종가 가치를 보장하지만 제3자에 의해 부과된 위험 제약 조건을 고려하여 투자자 유용성을 최대화하는 비볼록한 유용성 최적화 문제를 수립한다. 핵심 기여는 완전 시장에서의 완전한 해를 제시하는 것으로, 최적 포트폴리오의 존재는 위험 측도의 선택에 따라 결정되며, 특히 엔트로피 위험 측도에서는 최적 해가 존재하지만, CVaR와 같은 스펙트럴 측도는 블랙-숄즈 모델과 같은 특정 모델에서는 최적 해가 존재하지 않을 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We study the problem of portfolio insurance from the point of view of a fund manager, who guarantees to the investor that the portfolio value at maturity will be above a fixed threshold. If, at maturity, the portfolio value is below the guaranteed level, a third party will refund the investor up to the guarantee. In exchange for this protection, the third party imposes a limit on the risk exposure of the fund manager, in the form of a convex monetary risk measure. The fund manager therefore tries to maximize the investor's utility function subject to the risk measure constraint.We give a full solution to this nonconvex optimization problem in the complete market setting and show in particular that the choice of the risk measure is crucial for the optimal portfolio to exist. Explicit results are provided for the entropic risk measure (for which the optimal portfolio always exists) and for the class of spectral risk measures (for which the optimal portfolio may fail to exist in some cases).

연구 동기 및 목표

• 자산 운용자의 관점에서 포트폴리오 인슈어런스를 모델링하며, 운용자는 최소 종가 가치를 보장하지만 제3자에 의해 위험 제약 조건이 부과된다.
• 보장된 수준 이상의 초과 수익을 최대화하는 볼록한 유용성 함수의 비볼록 최적화 문제를 다루며, 이는 볼록한 통화 위험 측도 제약 조건 하에 놓여진다.
• 최적 포트폴리오가 존재하는 조건을 규명하며, 특히 위험 측도가 해 존재성 보장에 미치는 역할을 분석한다.
• 특정 위험 측도, 특히 엔트로피 위험 측도와 스펙트럴 위험 측도에 대해 완전 시장 설정에서 명시적인 해를 제공한다.

제안 방법

• 저자들은 진과 주우(2008)의 영감을 받은 이중 기반 접근법을 사용하여 비볼록 유용성 최적화 문제를 재구성하며, 이를 두 개의 볼록 하위문제로 분리한다.
• 특히 분포에 불변적인 볼록 위험 측도의 이중 표현을 활용하여, 분위수 함수와 왜곡 함수를 적용한다.
• 해는 변분 접근법을 통해 유도되며, 최적 종가 wealth는 기초 위험 자산 수익률의 역누적분포 함수의 함수로 특성화된다.
• 이 방법은 위험 자산 수익률이 임계값 $ c $ 이하일 경우에만 지급되는 청구서를 지급하는 최적의 임계값 $ c $ 를 찾는 데 포함된다.
• 엔트로피 위험 측도의 경우, 관련 왜곡 함수의 매끄럽고 엄밀한 볼록성 덕분에 최적 포트폴리오가 항상 존재함을 보여준다.
• 분석은 특히 위험 측도 제약 조건이 0에 수렴할 때 경계에서 최적 해의 행동을 상세히 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼록한 위험 측도 제약 조건 하에서 포트폴리오 인슈어런스의 맥락에서 최적 포트폴리오가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 특히 엔트로피 위험 측도와 스펙트럴 위험 측도의 선택이 최적 포트폴리오의 존재성과 구조에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 비볼록 유용성 최적화 문제를 이중 기법을 사용해 볼록 하위문제로 분리할 수 있는가?
• RQ4 왜 이 틀에서 블랙-숄즈 모델에서 CVaR 위험 측도는 최적 해의 존재를 보장하지 못하는가?
• RQ5 최적의 유보 청구서의 구조는 위험 측도의 왜곡 함수와 기초 위험 자산의 분포에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 엔트로피 위험 측도의 경우, 관련 왜곡 함수가 이중 문제의 유계성을 보장함으로써 유한한 해를 보장하므로 최적 포트폴리오가 존재한다.
• 스펙트럴 위험 측도의 경우, 최적 해의 존재는 왜곡 함수가 0에서의 행동에 따라 달라지며, $ r(0^+) = rac{ ext{VaR}_ ext{level}^{-1}}{ ext{왜곡 함수}} $ 가 무한대일 경우 최적 해가 존재하지 않는다.
• 블랙-숄즈 모델에서 CVaR 위험 측도는 최적 해 존재를 위한 필수 조건을 만족하지 못하므로, 이 제약 조건 하에서는 최적 포트폴리오를 구성할 수 없다.
• 최적 종가 wealth는 조각상수 함수로 특성화되며, 위험 자산 수익률이 임계값 $ c $ 이하일 경우에만 지급되는 청구서로 구성된다.
• 최적 해는 위험 제약 조건에서 유도된 손실 영역에서의 일정한 지급을 포함하며, 이는 꼬리 영역에서 왜곡 함수의 적분의 역수에 비례한다.
• 가장 큰 가치 함수는 위험 노출 증가의 한계 비용이 한계 유용성 증가와 균형을 이루는 임계값 $ c^* $ 를 선택할 때 달성되며, 이는 최적 청구서에 대해 닫힌 형태의 표현식을 이끈다.