[논문 리뷰] Portfolio optimization in the case of an asset with a given liquidation time distribution

Ljudmila A. Bordag, Ivan P. Yamshchikov외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 11.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무역성 자산을 보유한 투자자를 대상으로, 무역성 자산의 랜덤한 환매 시점과 함께 연속시간 소비 모델(Merton의 모델)을 사용한 포트폴리오 최적화 프레임워크를 개발한다. 지수 분포 및 Weibull 분포의 환매 시점 분포에 대해 점성해의 존재성과 유일성을 증명하였으며, 무역성이 심각할 경우, 특히 무역성 자산이 포트폴리오 가치의 5%를 초과할 경우, Merton의 두 자산 모델과 유의미하게 다름을 보였다.

ABSTRACT

Management of the portfolios containing low liquidity assets is a tedious problem. The buyer proposes the price that can differ greatly from the paper value estimated by the seller, the seller, on the other hand, can not liquidate his portfolio instantly and waits for a more favorable offer. To minimize losses in this case we need to develop new methods. One of the steps moving the theory towards practical needs is to take into account the time lag of the liquidation of an illiquid asset. This task became especially significant for the practitioners in the time of the global financial crises. Working in the Merton's optimal consumption framework with continuous time we consider an optimization problem for a portfolio with an illiquid, a risky and a risk-free asset. While a standard Black-Scholes market describes the liquid part of the investment the illiquid asset is sold at a random moment with prescribed liquidation time distribution. In the moment of liquidation it generates additional liquid wealth dependent on illiquid assets paper value. The investor has the logarithmic utility function as a limit case of a HARA-type utility. Different distributions of the liquidation time of the illiquid asset are under consideration - a classical exponential distribution and Weibull distribution that is more practically relevant. Under certain conditions we show the existence of the viscosity solution in both cases. Applying numerical methods we compare classical Merton's strategies and the optimal consumption-allocation strategies for portfolios with different liquidation-time distributions of an illiquid asset.

연구 동기 및 목표

• 2008년 금융위기 이후 특히 관련성이 높은, 불확실한 환매 시점을 가진 무역성 자산을 포함한 포트폴리오를 관리하는 데 도전하는 것.
• 무역성 자산이 알려진 분포를 가진 랜덤한 시점에 매도되는 것을 고려해, Merton의 최적 소비 및 투자 프레임워크를 확장하는 것.
• 다양한 환매 시점 분포 하에서 해밀토니안-자코비-벨만(HJB) 방정식에 대한 점성해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• Weibull 및 지수 분포의 환매 시점 분포 하에서 최적 전략을 고전적 Merton 전략과 수치적으로 비교하는 것.
• 무역성이 소비 및 자산 배분에 미치는 영향을 정량적으로 분석하며, 특히 무역성 자산이 총 자산의 무시할 수 없는 비중을 차지할 경우에 초점을 맞추는 것.

제안 방법

• 무역성 자산의 랜덤한 환매 시점을 고려한 Merton 프레임워크 내 연속시간 최적 제어 문제를 수립하며, 무위험 자산, 위험 자산, 무역성 자산을 포함한다.
• 무역성 자산의 환매 시점은 지수 분포 또는 Weibull 분포로 모델링하며, Weibull 분포는 더 높은 실용적 관련성을 제공한다.
• 가치 함수에 대한 HJB 방정식을 유도하고 일반 조건 하에서 점성해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• Weibull 분포의 환매 시점에 대해 보조 함수 Ψ₁, Ψ₂, Θ의 명시적 표현을 도출하기 위해 분석 기법을 적용한다.
• 점근적 분석을 통해 가치 함수가 e^(-κt)보다 더 빠르게 감쇠함을 확인하여 이론적 프레임워크의 타당성을 검증한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 다양한 환매 시점 분포 및 무역성 수준에서 최적의 소비 및 투자 정책을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤한 환매 시점이 있는 무역성 자산이 존재할 경우, 고전적 Merton 모델과 비교해 최적의 소비 및 투자 전략은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ2 랜덤한 환매 시점이 있는 포트폴리오 최적화 문제에서 HJB 방정식에 대한 점성해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 지수 분포와 Weibull 분포의 환매 시점에 대해 최적 전략은 어떻게 다름가? 어느 것이 실제 무역성 패턴을 더 잘 반영하는가?
• RQ4 무역성 자산의 포지션 비중이 감소함에 따라 최적 정책이 Merton 솔루션으로 수렴하는 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 무역성이 위험 자산에 대한 배분과 소비 수준에 미치는 정량적 영향은 무엇이며, 특히 무역성 자산이 총 자산의 5%를 초과할 경우 어떻게 되는가?

주요 결과

• 논문은 지수 분포 및 Weibull 분포의 환매 시점 분포 하에서 HJB 방정식에 대한 점성해의 존재성과 유일성을 증명하였다.
• 형상 매개수 k > 1인 Weibull 분포의 경우, 가치 함수가 e^(-κt)보다 더 빠르게 감쇠함을 확인하여 이론적 프레임워크의 타당성을 입증하였다.
• 수치 결과는 무역성 자산이 포트폴리오 가치의 5%를 초과할 경우, 최적의 소비 및 투자 전략이 Merton의 두 자산 모델과 유의미하게 다름을 보였다.
• 무역성 자산의 가치가 무시할 만큼 작아지면(z → 0), 모든 최적 정책은 두 자산 포트폴리오에 대한 고전적 Merton 솔루션으로 수렴한다.
• 무역성이 존재할 경우, Merton 모델보다 위험 자산에 투자하는 최적의 자산 비중이 낮아지며, 특히 무역성 자산이 상당할 경우 더욱 뚜렷하다.
• Weibull 분포는 지수 분포보다 더 두드러진 Merton 전략에서의 이탈을 유도하며, 특히 k > 1일 경우 더 현실적인 무역성 역학을 반영한다.