[논문 리뷰] Portfolio Optimization under Small Transaction Costs: a Convex Duality Approach

Jan Kallsen, Shen Li|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 작은 비례 거래비용 하에서 선형 최적 거래 전략과 복지 영향을 그림자 가격 과정을 활용한 볼록 쌍대성 접근법을 통해 엄밀하게 검증한다. Kallsen과 Muhle-Karbe(2013)의 형식적 결과는 잘 정의된 정규성 조건 하에서 확인되며, 일반 이토 확산 설정에서 쌍대성 및 마틴갈 방법을 통해 근사 최적성을 확립한다.

ABSTRACT

We consider an investor with constant absolute risk aversion who trades a risky asset with general Ito dynamics, in the presence of small proportional transaction costs. Kallsen and Muhle-Karbe (2012) formally derived the leading-order optimal trading policy and the associated welfare impact of transaction costs. In the present paper, we carry out a convex duality approach facilitated by the concept of shadow price processes in order to verify the main results of Kallsen and Muhle-Karbe under well-defined regularity conditions.

연구 동기 및 목표

• 소형 비례 거래비용 하에서 지수 효용 최적화를 위한 Kallsen과 Muhle-Karbe(2013)가 유도한 최초계수 최적 거래 정책과 복지 비용을 엄밀히 검증하기 위해.
• 그림자 가격 과정에 기반한 볼록 쌍대성 프레임워크를 사용하여 후보 전략의 존재성과 최적성을 확립하기 위해.
• 마찰 있는 시장에서 소비용 점근 해석에 대한 점도 해법 및 동차화 방법의 비확률적 대안을 제공하기 위해.
• 그림자 가격 과정에서 유도된 이중 제어가 최초계수에서 후보 전략과 일치하는 상한선을 제공함을 확인하기 위해.
• 값 함수가 명시적으로 알려져 있지 않은 비마코프, 일반 이토 확산 모델로까지 쌍대 접근법을 확장하기 위해.

제안 방법

• 마찰 있는 포트폴리오 문제를 등가의 마찰 없는 문제로 변환하기 위해 그림자 가격 과정을 활용한 볼록 쌍대성 프레임워크를 적용하기 위해.
• 일致한 가격 체계의 개념을 사용하여 최적 전략이 마틴갈이 되는 이중 측도를 정의하기 위해.
• 일반화된 베이즈의 정리를 적용하여 물리적 측도와 이중 측도 사이를 전환하면서 마틴갈 성질을 유지하기 위해.
• 그림자 가격 과정을 통해 이중 제어를 구성하고, 이가 값 함수에 대한 상한선을 제공함을 보여주기 위해.
• 이중 상한선이 후보 전략의 효용과 최초계수에서 일치함을 보여줌으로써, 쌍대 갭이 최초계수에서 소멸함을 증명하기 위해.
• 두브의 최대 부등식과 드리프트 대 볼륨비의 유계성 조건을 사용하여 효용 과정의 적분 가능성과 L1 수렴을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kallsen과 Muhle-Karbe(2013)가 유도한 최초계수 최적 거래 전략이 드리프트 및 볼륨프로세스에 대한 잘 정의된 정규성 조건 하에서도 여전히 유효한가?
• RQ2 그림자 가격 과정을 활용한 볼록 쌍대성 접근법을 사용하여 비마코프, 일반 이토 확산 설정에서 후보 전략의 최적성을 검증할 수 있는가?
• RQ3 소비용 근처에서 쌍대 갭은 어느 정도 소멸하며, 마틴갈 및 측도 전환 기법을 통해 이를 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ4 거래비용이 존재하는 상황에서 그림자 가격 과정에 기반한 이중 제어는 값 함수에 대해 얼마나 날카운 상한선을 제공하는가?
• RQ5 점도 해법이나 동차화 이론에 의존하지 않고도 후보 전략의 최적성을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• Kallsen과 Muhle-Karbe(2013)가 유도한 최초계수 최적 거래 전략은 드리프트 및 볼륨 프로세스에 대한 잘 정의된 정규성 조건 하에서 엄밀히 검증되었다.
• 그림자 가격 과정이 존재하며, 마찰 있는 문제를 마찰 없는 문제로 환원할 수 있어 이중 방법의 적용이 가능해졌다.
• 그림자 가격 과정에서 유도된 이중 제어는 값 함수에 대한 상한선을 제공하며, 이는 거래비용의 최초계수에서 후보 전략의 효용과 일치한다.
• 쌍대 갭은 최초계수에서 소멸함을 확인하여, 후보 전략이 소비용 영역에서 근사적으로 최적임을 확인하였다.
• 최적 전략은 이중 측도 하에서 마틴갈임이 증명되었으며, 관련 웰스 프로세스는 균일 적분 가능성을 보였다.
• 이 방법은 값 함수가 명시적으로 알려져 있지 않은 비마코프 모델을 포함한 일반 이토 프로세스에 적용 가능하며, 특별한 지식이 필요로 하지 않는다.