[논문 리뷰] Positive and negative extensions in extriangulated categories

Mikhail Gorsky, Hiroyuki Nakaoka외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 공끝(coends)를 사용하여 외부삼각형 카테고리(extriangulated categories)에서 고차수의 양성 및 음성 확장에 대한 요나다 유형 이론을 수립한다. 이는 충분한 프로젝티브 또는 인젝티브 구조가 존재할 경우 고전적 정의(프로젝티브/인젝티브 분해를 통한 정의)와 일치함을 증명한다. 음성 확장을 호모지오미즘의 왼쪽 유도함수로 정의하고, 적절한 조건 하에서 이들이 유일한 δ-함수를 이룬다는 것을 보이며, ∞-카테고리적 강화를 통해 위상적 외부삼각형 카테고리에서 양성 및 음성 확장의 균형을 증명한다.

ABSTRACT

We initiate the study of derived functors in the setting of extriangulated categories. By using coends, we adapt Yoneda's theory of higher extensions to this framework. We show that, when there are enough projectives or enough injectives, thus defined extensions agree with the ones defined earlier via projective or injective resolutions. For categories with enough projective or enough injective morphisms, we prove that these are right derived functors of the $\operatorname{Hom}$-bifunctor in either argument. Since $\operatorname{Hom}$ is only half-exact in each argument, it is natural to expect "negative extensions", i.e. its left derived functors, to exist and not necessarily vanish. We define negative extensions with respect to the first and to the second argument and show that they give rise to universal $δ$-functors, when there are enough projective or injective morphisms, respectively. In general, they are not balanced. However, for topological extriangulated categories, the existence of a balanced version of negative extensions follows from combining the work of Klemenc on exact $\infty$-categories with results of the second and third authors. We discuss various criteria under which one has the balance of the above bifunctors on the functorial or on the numerical levels. This happens, in particular, in the cases of exact or triangulated categories, and also in the case of the category of $n$-term complexes with projective components over a finite-dimensional algebra. Given a connected sequence of functors on an extriangulated category $(\mathcal{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$, we determine the maximal relative extriangulated structure, with respect to which the sequence is a $δ$-functor. We also find several equivalent criteria for the existence of enough projective or injective morphisms in a given extriangulated category.

연구 동기 및 목표

• 외부삼각형 카테고리에서 고차수 확장에 대한 요나다 스타일 이론을 개발하여, 정확한 카테고리 이론과 삼각형 카테고리 이론을 일반화한다.
• 호모지오미즘의 왼쪽 유도함수로 음성 확장을 정의하고, 이들이 항상 0이 되지 않는다는 점(호모지오미즘의 반정확성 때문)을 고려하여 연구한다.
• 양성 및 음성 확장이 균형을 이루는 조건을 설정하며, 특히 정확한 ∞-카테고리에서 유래한 위상적 외부삼각형 카테고리에서의 경우를 중심으로 다룬다.
• 외부삼각형 카테고리에서 충분한 프로젝티브 또는 인젝티브 사상의 존재를 카테고리적 기준을 통해 특성화한다.

제안 방법

• 공끝을 사용하여 외부삼각형 카테고리에서 고차수의 양성 확장을 정의하고, 요나다의 원래 구성으로 일반화한다.
• 이 공끝 기반 확장이 양변에서 장긴 정확열을 만족함을 증명하여 δ-함수를 이룬다는 것을 보인다.
• C-쌍대와 프로젝티브 분해를 통한 방법으로 음성 확장을 정의하고, 충분한 프로젝티브 또는 인젝티브 사상이 존재할 경우 이들이 유일한 δ-함수를 이룬다는 것을 보인다.
• 충분한 프로젝티브 또는 인젝티브 사상이 존재할 경우 공끝 기반 확장과 프로젝티브/인젝티브 분해를 통한 정의가 동치가 됨을 증명한다.
• 클레멘츠의 정확한 ∞-카테고리의 안정화된 껍질(stable hull)에 관한 결과를 적용하여, 위상적 외부삼각형 카테고리가 음성 확장의 균형 버전을 가짐을 보인다.
• 결함 카테고리와 그 성질을 사용하여 확장의 구조를 분석하고, 결함 함숫값의 반사 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각형 카테고리에 대한 통합을 요구하지 않고, 외부삼각형 카테고리에서 고차수 확장을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 음성 확장—호모지오미즘의 왼쪽 유도함수—가 존재하고, 충분한 조건 하에서 유일한 δ-함수를 이룰 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 외부삼각형 카테고리에서 양성 및 음성 확장은 언제 기능적으로나 수치적으로 균형을 이룰 수 있는가?
• RQ4 어떤 카테고리적 조건이 주어진 외부삼각형 카테고리에서 충분한 프로젝티브 또는 인젝티브 사상의 존재를 보장하는가?
• RQ5 공끝 기반 확장은 프로젝티브/인젝티브 분해를 통한 고전적 정의와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 충분한 프로젝티브 또는 인젝티브 사상이 존재할 경우, 공끝 기반의 양성 확장 정의는 프로젝티브 또는 인젝티브 분해를 통한 고전적 정의와 일치한다.
• 양성 확장은 양변에서 장긴 정확열을 만족하며, 이에 따라 외부삼각형 카테고리의 양성 전역 차원(global dimension)이 이 구성에 의해 잘 정의된다.
• 충분한 프로젝티브 또는 인젝티브 사상이 존재할 경우 음성 확장은 호모지오미즘의 왼쪽 유도함수로서 존재하며, 이들은 유일한 δ-함수를 이룬다.
• 위상적 외부삼각형 카테고리(정확한 ∞-카테고리적 강화를 가진 카테고리)에서는 클레멘츠의 안정화된 껍질 구성에 따라 음성 확장의 균형 버전이 존재한다.
• 원래 카테고리에 충분한 프로젝티브 사상이 존재할 경우, 외부삼각형 카테고리의 결함 카테고리에 충분한 프로젝티브 사상이 존재한다.
• 결함 함숫값에 대해 반사 성질이 확립되었으며, 이는 모든 유한 생성 함숫값이 결함 함숫값 간의 사상의 코어널을 통해 나타남을 보여준다.