[논문 리뷰] Positive Definite Germs of Quantum Stochastic Processes

V. P. Belavkin|ArXiv.org|2005. 12. 13.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 이토 대수에서 양의 정부호(positive definite, PD) 과정에 대해 그의 기원(germ)을 통해 표현 정리(representation theorem)를 수립하는 양자 확률적 과정에 대한 확률적 기원(stochastic germs) 개념을 도입한다. 주요 기여는 스트로복스 미분의 기원-행렬에 대한 가짜 힐버트 공간 확장(pseudo-Hilbert space dilation)으로, 포아송 점프, 빈도 확산, 또는 일반적인 양자 노이즈에 의해 구동되는 양자 확률적 진화 방정식의 일반적 형태를 제공한다.

ABSTRACT

A new notion of stochastic germs for quantum processes is introduced and a characterisation of the stochastic differentials for positive definite (PD) processes is found in terms of their germs for arbitrary Ito algebra. A representation theorem, giving the pseudo-Hilbert dilation for the germ-matrix of the differential, is proved. This suggests the general form of quantum stochastic evolution equations with respect to the Poisson (jumps), Wiener (diffusion) or general quantum noise.

연구 동기 및 목표

• 스토케스 미분에 대한 에반스-류이스 확장 정리(Evans-Lewis dilation theorem)를 임의의 *-대수로 일반화하기 위해.
• 양의 정부호 양자 확률적 과정에 대해 확률적 기원을 정의하고 특성화하기 위해.
• 확률적 미분의 기원-행렬을 가짜 힐버트 공간 확장을 통해 표현하기 위해.
• 포아송, 빈도, 일반적인 양자 노이즈에 걸쳐 양자 확률적 진화 방정식의 묶음 기술을 통합하기 위해.
• 양자 확률적 과정에서 조건부 정부호성과 코바운더리(coboundary) 구조를 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 완전히 양의 정부호 과정의 미분 극한을 t=0에서 정의함으로써 확률적 기원을 도입하며, 이를 $\boldsymbol{\lambda} = \boldsymbol{i} + \boldsymbol{\alpha}$ 로 표현한다.
• 이토 대수 $\mathfrak{a}$ 를 사용하여 확률적 미분 $\mathrm{d}\phi = \alpha_{\nu}^{\mu} \mathrm{d}A_{\mu}^{\nu}$ 를 매개변수화한다.
• GNS 구성(GNS construction)을 적용하여 대수 $\mathfrak{a}$ 를 사중쌍 $a_{\nu}^{\mu}$ 의 $*$-표현으로 식별한다.
• 平坦(\flat)-사상과 함께 분산 형식 $\Delta(y,x)$ 를 정의하고, 이를 핵심 조건으로서 양의 정부호성을 확립한다.
• 부정확한 계량 텐서 $\mathbf{G}$ 를 가진 가짜 힐버트 공간 $\mathcal{E} = \mathcal{D} \oplus \mathcal{D}^\circ \oplus \mathcal{D}^\bullet$ 을 구성한다.
• 가짜 힐버트 공간 $\mathcal{E}$ 에서의 $\flat$-표현 $\jmath$ 를 사용하여 표현식 $\boldsymbol{\lambda}(x) = L^\flat \jmath(x) L$ 을 수립한다. 여기서 $L$ 은 $\mathcal{D} \oplus \mathcal{D}^\bullet$ 에서 $\mathcal{E}$ 로 사상한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 정부호 양자 확률적 과정의 확률적 미분은 t=0에서의 기원을 통해 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 확률적 미분의 기원-행렬이 조건부 정부호 정부호성을 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 임의의 이토 대수에서 확률적 미분의 기원-행렬에 대해 가짜 힐버트 공간 확장을 구성할 수 있는가?
• RQ4 기원-행렬의 구조는 기저 양자 노이즈 유형(Poisson, Wiener, 또는 일반적)과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 코바운더리 성질과 $\flat$-표현은 기원의 확장에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 확률적 미분의 기원-행렬 $\boldsymbol{\lambda}$ 가 조건부 정부호 정부호성을 갖는 것은, $\flat$-표현을 통한 가짜 힐버트 공간 확장이 존재할 때에만 성립한다.
• 양의 정부호 분산 형식 $\Delta(y,x)$ 는 유니탈 $*$-표현 $j$, $(i,j)$-도함수 $k$, 그리고 주어진 연산자 방정식을 만족하는 코바운더리 사상 $l$ 이 존재하는 것과 동치이다.
• 기원 $\boldsymbol{\lambda}(x)$ 는 어떤 연산자 $L$ 과 가짜 힐버트 공간 $\mathcal{E}$ 에서의 $\flat$-표현 $\jmath$ 를 사용하여 $L^\flat \jmath(x) L$ 으로 표현되며, 이는 확장 구조를 수립한다.
• 이 구성은 에반스-류이스 정리를 임의의 이토 대수로 일반화하며, 양자 확률적 진화 방정식에 대한 통합된 프레임워크를 제공한다.
• 기본 구조 $\mathcal{D}^\bullet = \mathcal{K} \otimes \mathcal{D}$ 를 통해 포아송 점프 ($\alpha_{+}^{-} = D$), 빈도 확산, 일반적인 양자 노이즈의 경우가 명시적으로 포함된다.
• 기원의 조건부 정부호성과 확장 존재성 사이의 동치성은 정리 4에 제시된 네 가지 동치 조건을 통해 엄밀히 증명되었다.