[논문 리뷰] Positive-definite parametrization of mixed quantum states with deep neural networks

Filippo Vicentini, Riccardo Rossi외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 27.

Quantum many-body systems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다항식 자원을 사용하여 임의의 랭크, 양의 준정부호 밀도 행렬을 정확히 매개변수화하는 딥 뉴럴 네트워크 아키텍처인 그람-하다마르드 밀도 연산자(GHDO)를 소개한다. 자동재귀적 구조를 통합함으로써 GHDO는 직접 샘플링을 가능하게 하며, 혼합 양자 상태의 변분 시뮬레이션에서 상당한 향상을 이룬다. 이를 통해 소산적 가로자기장 이징 모델에서 국소 관측량과 레니 엔트로피를 정확하게 추정할 수 있다.

ABSTRACT

We introduce the Gram-Hadamard Density Operator (GHDO), a new deep neural-network architecture that can encode positive semi-definite density operators of exponential rank with polynomial resources. We then show how to embed an autoregressive structure in the GHDO to allow direct sampling of the probability distribution. These properties are especially important when representing and variationally optimizing the mixed quantum state of a system interacting with an environment. Finally, we benchmark this architecture by simulating the steady state of the dissipative transverse-field Ising model. Estimating local observables and the Rényi entropy, we show significant improvements over previous state-of-the-art variational approaches.

연구 동기 및 목표

• 임의의 랭크, 양의 준정부호 밀도 행렬을 다항식 계산 비용으로 정확히 표현할 수 있는 유연하고 깊은 신경망 아키텍처를 개발하는 것.
• 혼합 양자 상태에서 대각 확률 분포를 직접 샘플링할 수 있도록 하여 변분 몬테카를로 방법에서 발생하는 자동상관 문제를 피하는 것.
• 얕은 RBM이나 물리적으로 타당하지 않은 안사제를 포함한 이전 접근법의 한계를 극복하기 위해 깊은 아키텍처에서 물리적 일致성(양의 준정부호성, 에르미트성)을 보장하는 것.
• 특히 소산적 가로자기장 이징 모델을 포함한 개방 양자 시스템에서 시험하여, 국소적 및 전역적 성질을 모두 캡처하는 데 성능을 평가하는 것.
• 깊고 구조화된 신경망이 개방 양자 시스템의 평형 상태를 시뮬레이션할 때 최신 변분 방법을 능가할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 양의 준정부호성을 보장하기 위해 행렬 원소의 분해를 통한 $\hat{\rho} = \sum_{a=1}^{R} \sum_{\sigma,\eta} \psi_{\sigma_{\leq h},a} \psi^{*}_{\eta_{\leq h},a} \ket{\sigma}\bra{\eta}$로 정의된 그람-하다마르드 밀도 연산자(GHDO)를 제안한다.
• 셀루 비선형성을 가진 마스크된 밀집층을 사용한 계층적 매개변수화를 통해 $\psi_{\sigma_{\leq h},a}$를 정의함으로써 스핀 구성에 대한 깊고 자동재귀적인 구조를 실현한다.
• 네트워크 출력을 통해 조건부 확률 $p(\sigma_h|\sigma_{<h})$를 정의함으로써 자동재귀적 샘플링을 구현하여 마르코프 체인 몬테카를로를 거치지 않고 구성 요소를 직접 생성할 수 있도록 한다.
• 정규화와 물리적 타당성을 유지하기 위해 밀도 행렬을 조건부 분포의 볼록 조합으로 표현함으로써 변분 원리를 최적화한다.
• 최적화 중 시간에 따라 변하는 변분 원리(TDVP) 방정식을 정규화를 포함한 공액 기울기 솔버로 해결한다.
• 효율적인 미분 프로그래밍을 위해 JAX와 Flax를 사용하며, 양자 다체 시뮬레이션에는 NetKet를, 분산 학습에는 mpi4jax를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 자원으로 임의의 랭크, 양의 준정부호 밀도 행렬을 정확히 표현할 수 있는 깊은 신경망 아키텍처를 설계할 수 있는가?
• RQ2 이러한 아키텍처에 자동재귀적 구조를 통합하여 대각 확률 분포를 직접 샘플링할 수 있는가?
• RQ3 이러한 접근법이 혼합 양자 상태, 특히 개방 양자 시스템에서 기존의 변분 방법보다 우수한 성능을 보일 수 있는가?
• RQ4 이 아키텍처는 소산 시스템에서 국소 관측량과 레니 엔트로피와 같은 전역 얽힘 특성을 정확히 캡처할 수 있는가?
• RQ5 완전한 밀도 행렬 표현의 지수적 스케일링을 피하면서도 물리적으로 타당한 깊은 안사제를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• GHDO 아키텍처는 $R = 2^N$ 파rameter를 사용하여 $N$- 큐비트 밀도 행렬을 정확히 표현하며, 시스템 크기와 비례하는 다항식 자원으로 정확한 매개변수화를 달성한다.
• 자기재귀적 GHDO는 대각 확률 분포의 직접 샘플링을 가능하게 하여, 메트로폴리스 기반 방법 대비 샘플링 효율성을 크게 향상시킨다.
• 소산적 가로자기장 이징 모델의 시뮬레이션에서 GHDO는 감소한 1스핀 밀도 행렬을 정확히 재현하여 국소 관측량에 대한 높은 정밀도를 보였다.
• GHDO를 사용해 계산한 레니-2 엔트로피는 기대값으로 수렴함을 보여주어, 이 방법이 전역 얽힘 특성을 캡처할 수 있음을 입증한다.
• 평형 상태 시뮬레이션에서 정확도와 수렴 속도 면에서 이전의 최고 수준의 변분 방법보다 뚜렷한 향상을 이룬다.
• 양의 준정부호성과 에르미트성을 깊은 아키텍처에서 강제함으로써 물리적으로 타당하지 않은 안사제나 얕은 RBM 기반 접근법보다 성능이 뛰어나다.