[논문 리뷰] Positive Eigenfunctions of Markovian Pricing Operators: Hansen-Scheinkman Factorization, Ross Recovery and Long-Term Pricing

Likuan Qin, Vadim Linetsky|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 63인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 Borel 오른쪽 과정과 양의 semimartingale 스토하스틱 디스count 요인을 갖는 마코프성 자산 가격 모델에 대한 스펙트럼 이론을 수립한다. 재발성 양의 고유함수의 유일성을 증명하고, 하이젠-셰인크만 인수분해와 로스 복구 정리를 일반 재발성 확산으로 확장하며, 장기 만기 점근적 행동을 도출하여 폭발성 또는 갇힘 형태의 단기금리 행동을 배제함으로써 경제적으로 안정된 역학을 보장한다.

ABSTRACT

This paper develops a spectral theory of Markovian asset pricing models where the underlying economic uncertainty follows a continuous-time Markov process X with a general state space (Borel right process (BRP)) and the stochastic discount factor (SDF) is a positive semimartingale multiplicative functional of X. A key result is the uniqueness theorem for a positive eigenfunction of the pricing operator such that X is recurrent under a new probability measure associated with this eigenfunction (recurrent eigenfunction). As economic applications, we prove uniqueness of the Hansen and Scheinkman (2009) factorization of the Markovian SDF corresponding to the recurrent eigenfunction, extend the Recovery Theorem of Ross (2015) from discrete time, finite state irreducible Markov chains to recurrent BRPs, and obtain the long maturity asymptotics of the pricing operator. When an asset pricing model is specified by given risk-neutral probabilities together with a short rate function of the Markovian state, we give sufficient conditions for existence of a recurrent eigenfunction and provide explicit examples in a number of important financial models, including affine and quadratic diffusion models and an affine model with jumps. These examples show that the recurrence assumption, in addition to fixing uniqueness, rules out unstable economic dynamics, such as the short rate asymptotically going to infinity or to a zero lower bound trap without possibility of escaping.

연구 동기 및 목표

• 일반 연속시간 Borel 오른쪽 과정과 양의 semimartingale 스토하스틱 디스count 요인을 갖는 마코프성 자산 가격 모델에 대한 스펙트럼 이론을 개발한다.
• 기저 마코프 과정이 재발성임을 보장하는 양의 고유함수의 유일성을 확립한다.
• 하이젠-셰인크만 인수분해를 이산시간 유한상태 체인을 초월한 일반 재발성 마코프 과정으로 확장한다.
• 로스의 복구 정리를 이산시간에서 연속시간, 일반 상태공간 마코프 과정으로 일반화한다.
• 재발성 고유측도 하에서 가격 연산자의 장기 만기 점근적 행동을 도출한다.

제안 방법

• 스토하스틱 디스count 요인을 마코프 과정의 양의 곱함수로 삼아, Borel 가측 지급금에 작용하는 반군으로서 가격 연산자를 형식화한다.
• 양의 고유함수 $\pi$ 와 관련된 고유측도 $\mathbb{Q}^\pi$ 의 개념을 도입하며, 이에 따라 고유자산이 니아라로 사용됨을 보장한다.
• 기하브라의 정리를 적용하여 고유측도 하에서 상태 과정의 동역학을 변환하며, 고유값 조건을 만족할 경우 평균 회귀 및 재발성 행동을 보장한다.
• 아핀 및 제곱형 확산 모델(점프 유무에 관계없이)에서 고유함수를 구하기 위해 연속시간 대수적 리카티 방정식(CTARE)을 사용한다.
• 이토의 공식과 마르팅게일 표현을 활용하여 $\mathbb{Q}^\pi$-국소마르팅게일 $\tilde{M}^\pi_t$ 의 동역학을 유도함으로써 측도 변화의 타당성을 확보한다.
• 확률과정 이론의 결과—예를 들어 펠러 성질, 비가역성, 재발성 기준(트위디의 정리 및 슈릴링의 정리)—을 적용하여 고유측도 하에서의 재발성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 마코프 과정이 고유측도 하에서 재발성임을 보장하는 유일한 양의 고유함수가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 스토하스틱 디스count 요인의 하이젠-셰인크만 인수분해는 어떻게 연속시간, 일반 상태공간 마코프 과정으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 로스의 복구 정리는 이산시간 유한상태 마코프 체인에서 연속시간 재발성 확산으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 재발성 고유측도 하에서 가격 연산자의 장기 만기 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ5 아핀 및 제곱형 확산 모델에서 단기금리가 폭발하거나 영하한계에 갇히지 않도록 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 마코프 과정이 고유측도 하에서 재발성일 경우 재발성 양의 고유함수는 유일하며, 이는 폭발성 또는 갇힘 형태의 역학을 방지함으로써 안정성을 보장한다.
• 하이젠-셰인크만 인수분해는 재발성 고유함수에 의해 유일하게 특징지어지며, 대칭성 또는 L² 유계성 조건을 초월한 일반화된 설정에서도 유효함을 보장한다.
• 로스 복구 정리는 연속시간, 일반 상태공간 Borel 오른쪽 과정으로 일반화되어, 위험중립적 동역학으로부터 실세계 확률을 복구할 수 있게 한다.
• 아핀 및 제곱형 확산 모델에서는 관련 CTARE가 안정해지는 해를 갖는 한 재발성 고유함수가 존재함을 보장하며, 이는 비율과 분산 행렬에 대한 명시적 조건을 포함한다.
• 점프가 있는 JCIR 과정의 경우, 양의 전이밀도와 정적분포의 존재를 통해 재발성이 확립되며, 이는 위상적 재발성과 재발성 기준을 충족함을 확인한다.
• 가격 연산자의 장기 만기 점근적 행동이 유도되었으며, 이는 재발성 고유함수에 대한 사영으로 수렴함을 보여주며, 이는 장기 위험중립적 가격 결정을 지배한다.