[논문 리뷰] Positive metric entropy arises in some nondegenerate nearly integrable systems

Dong Chen|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3차원 토러스 위에 $C^{\infty}$-소작, 가역적인 편리드 메트릭을 구성하여 평탄한 메트릭에 임의로 가까이 만들지만, 지오데식 흐름에서 양의 메트릭 엔트로피를 나타낸다. 마우페르투아의 원리와 쌍대 렌즈 맵 형식론을 이용한 복귀 맵의 변형을 통해, 비퇴화적인 거의 해밀턴계에서 KAM 토러스 외부에 양의 메트릭 엔트로피—즉, 혼돈 다이내믹스를 나타내는 것—가 발생함을 입증한다.

ABSTRACT

The celebrated KAM Theory says that if one makes a small perturbation of a non-degenerate completely integrable system, we still see a huge measure of invariant tori with quasi-periodic dynamics in the perturbed system. These invariant tori are known as KAM tori. What happens outside KAM tori draws a lot of attention. In this paper we present a Lagrangian perturbation of the geodesic flow on a flat 3-torus. The perturbation is $C^\infty$ small but the flow has a positive measure of trajectories with positive Lyapunov exponent, namely, the flow has positive metric entropy. From this result we get positive metric entropy outside some KAM tori.

연구 동기 및 목표

• 비퇴화적인 거의 해밀턴 해밀턴계에서 양의 메트릭 엔트로피가 발생할 수 있음을 보여주는 것, 특히 3차원 토러스 위의 지오데식 흐름에 대해.
• 3차원 토러스 $\mathbb{T}^3$ 위에서 평탄한 메트릭의 $C^{\infty}$-소작 변형을 구성하여, 그로 인한 지오데식 흐름이 양의 메트릭 엔트로피를 가지게 하는 것.
• 이러한 양의 메트릭 엔트로피가 KAM 토러스 집합 외부에서 발생함을 보여주는 것인데, 이는 시스템이 비퇴화적이며 변형이 매우 작음에도 불구하고 성립한다.
• 이러한 혼란스러운 행동이 아르놀트 확산이 발생하지 않는 시스템에서도 가능함을 입증하여, 다른 형태의 불안정성과의 차이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 특정 단면 $\Gamma_0$ 에서 지오데식 흐름의 복귀 맵을 $C^{\infty}$-소작 해밀턴 변형 $H_\epsilon$ 를 사용하여 변형한다.
• 마우페르투아의 원리를 적용하여 해밀턴 흐름을 재파arameter화하여, 변형된 운동 에너지 해밀턴 함수 $\tilde{H}_\epsilon = -\sqrt{1 - 2H_\epsilon}$ 를 유지하면서 궤적은 그대로 유지하면서 메트릭 엔트로피 분석이 가능하도록 한다.
• 부라고와 이바노프의 쌍대 렌즈 맵 형식론을 사용하여, 변형된 복귀 맵을 $\mathbb{T}^3$ 위에 정의된 전역적 가역 편리드 메트릭 $\varphi_\epsilon$ 로 올린다.
• 변형이 위상공간의 컴acts한 영역에서만 작용하도록 보장하여, 3차원 볼 $D^3$ 의 경계 근처에서는 유클리드 메트릭을 유지한다.
• 쌍대 렌즈 맵 $\sigma_\epsilon$ 를 유클리드 쌍대 렌즈 맵 $\sigma_0$ 의 심플렉틱 변형으로 구성하여, 변형의 지원 영역에서 복귀 맵과 일致하도록 한다.
• $\sigma_\epsilon$ 를 정리 7.1을 통해 편리드 메트릭 $\varphi_\epsilon$ 로 올리며, 이는 주어진 쌍대 렌즈 맵을 갖는 가역 편리드 메트릭의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비퇴화적인 거의 해밀턴 해밀턴계에서 임의로 작은 $C^{\infty}$-변형을 통해 양의 메트릭 엔트로피가 발생할 수 있는가?
• RQ2 평탄한 3차원 토러스 위에서 이러한 시스템을 구성할 수 있으며, 혼란스러운 다이내믹스(양의 메트릭 엔트로피)가 KAM 토러스 외부에서 발생하는가?
• RQ3 이러한 시스템에서 양의 메트릭 엔트로피 존재가 반드시 아르놀트 확산을 의미하는가?
• RQ4 쌍대 렌즈 맵 형식론을 사용하여 평탄한 메트릭의 $C^{\infty}$-소작 변형을 구성하여 지오데식 흐름에서 양의 메트릭 엔트로피를 유도할 수 있는가?
• RQ5 메트릭 엔트로피와 거의 해밀턴계에서 불변 토러스의 구조 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해, $\mathbb{T}^3$ 위에 $C^{\infty}$-위상에서 유클리드 메트릭에 $\epsilon$-근접한 가역 편리드 메트릭 $\varphi_\epsilon$ 가 존재하며, 이는 양의 메트릭 엔트로피를 가진다.
• 지오데식 흐름 $\varphi_\epsilon$ 는 단면 $\Gamma_0$ 에서의 복귀 맵 변형으로 인해 혼돈 다이내믹스를 유도하며, 이로 인해 양의 메트릭 엔트로피를 나타낸다.
• 양의 메트릭 엔트로피는 완전히 KAM 토러스 집합 외부에서 발생하며, 이는 비퇴화적인 거의 해밀턴계의 비-KAM 영역에서 혼돈 행동이 발생할 수 있음을 보여준다.
• 변형은 $C^{\infty}$-소작이며, 결과적인 메트릭 엔트로피는 상한 연속성(upper semicontinuous)을 가지며, 이는 미세하지만 여전히 엄밀히 양의 값을 가짐을 의미한다.
• 구성된 예에서는 아르놀트 확산이 발생하지 않으며, 작은 $\epsilon$ 에 대해 행동 변수 $\alpha, \beta$ 가 위상공간 전반에서 균일하게 유계로 유지된다.
• 쌍대 렌즈 맵 구성은 결과적인 편리드 메트릭이 가역적이며, 3차원 볼의 경계 근처에서 유클리드 메트릭과 일致함을 보장하여 전역적 구조를 유지한다.