[논문 리뷰] Positive scalar curvature on foliations

Weiping Zhang|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 호모토피 극한 기법과 거의 등거리 폴로노미아에 대한 부분 디랙 연산자를 도입하여, 리히너오피츠와 히치린의 양의 스칼라 곡률 정리들을 폴로노미아를 가진 스피너 다양체로 일반화한다. 만약 닫힌 스피너 다양체가 양의 리프별 스칼라 곡률를 가진 폴로노미아를 지닌다면, 그 $\widehat{\mathcal{A}}$-위상수는 0이 되며, 그 결과로는 어떤 토러스도 그러한 폴로노미아를 가질 수 없다—이는 고전적인 양의 스칼라 곡률 메트릭이 존재하지 않는 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We generalize classical theorems due to Lichnerowicz and Hitchin on the existence of Riemannian metrics of positive scalar curvature on spin manifolds to the case of foliated spin manifolds. As a consequence, we show that there is no foliation of positive leafwise scalar curvature on any torus, which generalizes the famous theorem of Schoen-Yau and Gromov-Lawson on the non-existence of metrics of positive scalar curvature on torus to the case of foliations. Moreover, our method, which is partly inspired by the analytic localization techniques of Bismut-Lebeau, also applies to give a new proof of the celebrated Connes vanishing theorem without using noncommutative geometry.

연구 동기 및 목표

• 스피너 다양체에서의 고전적 양의 스칼라 곡률 메트릭 결과를 폴로노미아를 가진 다양체의 맥락으로 확장하는 것.
• 폴로노미아에서의 양의 리프별 스칼라 곡률이 전체 다양체에서의 양의 스칼라 곡률을 유도하는지 여부에 대한 열린 문제를 다루는 것.
• 비교적 기하학적 방법을 사용하지 않고 콘네의 소멸 정리에 대한 새로운 해석적 증명을 제공하는 것.
• 스피너 다양체의 통합 가능한 부분다양체에 대해 양의 리프별 스칼라 곡률 조건 하에서 $\widehat{\mathcal{A}}$-위상수의 소멸 결과를 확립하는 것.

제안 방법

• 폴로노미아를 가진 다양체 위에 거의 등거리 섬유화를 구성하기 위해 호모토피 극한 기법을 활용한다.
• 스피너 통합 가능한 부분다양체와 그의 와전된 형태에 대해 관련된 부분 디랙 연산자를 도입한다.
• 아티야-사이먼스 지수 정리를 적용하여 제로차수 타입의 타원형 미분연산자의 mod 2 지수를 계산한다.
• 비스무-레바우의 영향을 받은 해석적 국소화 기법을 활용하여 부분 디랙 연산자의 핵을 제어한다.
• 핵 차원의 mod 2 값이 $\alpha$-위상수를 계산하는 연산자들의 가중치 집합 $\widehat{P}_{R,\beta,\varepsilon}$를 구성한다.
• 큰 $R, \beta, \varepsilon$에 대해 핵 차원이 소멸함을 이용하여 $\alpha$-위상수와 $\widehat{\mathcal{A}}$-위상수의 소멸을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 스피너 다양체의 폴로노미아에서 양의 리프별 스칼라 곡률를 가진 메트릭이 존재한다면, 전체 다양체의 $\widehat{\mathcal{A}}$-위상수가 소멸하는가?
• RQ2 토러스에서의 양의 스칼라 곡률가 존재하지 않는 고전적 결과가 폴로노미아의 맥락으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 비교적 기하학적 방법이나 순환 코hom로 의존하지 않고 콘네의 소멸 정리를 폴로노미아에 대해 증명할 수 있는가?
• RQ4 스피너 다양체의 통합 가능한 부분다양체에 대해 양의 리프별 스칼라 곡률가 존재하는 데 있어 위상적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 논문에서 사용된 지수론적 방법은 정규다양체의 고차원 포트리야진 클래스를 포함하도록 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 닫힌 스피너 다양체 $M$가 양의 리프별 스칼라 곡률를 가진 폴로노미아 $F$를 지닐 경우, $\widehat{\mathcal{A}}(M) = 0$이 되며, 이는 리히너오피츠와 히치린의 정리를 일반화한다.
• 어떤 토러스 $T^n$에도 양의 리프별 스칼라 곡률를 가진 폴로노미아가 존재하지 않으며, 이는 쇼엔-예우와 그로모프-로우슨의 존재하지 않는 결과를 일반화한다.
• 비교적 기하학적 방법이나 순환 코호몰로지 없이 콘네의 소멸 정리에 대한 새로운 해석적 증명이 확립된다.
• 큰 매개변수에 대해 특정 제로차수 타원형 미분연산자 $\widehat{P}_{R,\beta,\varepsilon}$의 mod 2 지수가 소멸하며, 이는 $\alpha(M) = 0$을 유도한다.
• 모든 정수 $k \geq 0$에 대해, 양의 리프별 스칼라 곡률 조건 하에서 $\left\langle \widehat{A}(F) p(TM/F) e(TM/F)^k, [M] \right\rangle = 0$ 이 성립한다.
• 특히 $\left\langle \widehat{A}(F) e(TM/F), [M] \right\rangle = 0$ 이며, $\dim M = 6$, $\operatorname{rk}(F) = 4$ 일 경우 $\left\langle e(TM/F)^3, [M] \right\rangle = 0$ 이다. 이는 $\mathbb{C}P^3$에 대해 양의 리프별 스칼라 곡률를 가진 codimension-2 폴로노미아가 존재하지 않음을 의미한다.