[논문 리뷰] Positive Scalar Curvature on Noncompact Manifolds and the Liouville Theorem

Martin Lesourd, Ryan Unger외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 26.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 최소 초곡면과 MOTS(경계 외측으로 붕괴하는 표면)를 이용하여, 차원 $ n < 8 $인 비콤팩트 다성분에서 완비 리만계량의 정규 스칼라 곡률 $ R > 0 $ 가 존재할 수 없는 위상적 제약 조건을 설정한다. $ \mathcal{C}^n \# X^n $ 형태의 다성분은 온건한 기하 조건 하에서 이러한 계량을 가질 수 없음을 증명하고, 이 비존재 결과로부터 국소적으로 등각 평탄한 다성분에서 $ R \geq 0 $ 인 리우빌 추측이 도출됨을 보이며, 이는 $ M^n $ 이 $ (\lambda,\rho) $-수축 가능일 경우 차원 3과 $ 4 \leq n \leq 6 $ 에서 이를 해결한다.

ABSTRACT

Using minimal hypersurfaces, we obtain topological obstructions to admitting complete metrics with positive scalar curvature on a given class of non-compact n-manifolds with n less than 8. We show that the Liouville theorem for a locally conformally flat n-manifold of non-negative scalar curvature follows from the impossibility of there being a positive scalar curvature metric on its connect sum with the n-torus. With the recent work of Chodosh-Li, the Liouville theorem is now proved in all remaining cases. Finally, using MOTS instead of minimal hypersurfaces, we show an Initial Data Set version of these results with the Dominant Energy Scalar appearing instead of positive scalar curvature.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 다성분에서 완비 리만계량의 정규 스칼라 곡률 $ R > 0 $ 가 존재할 수 없는 위상적 제약 조건을 설정하는 것.
• 완비 리만계량의 비존재 결과로부터, 국소적으로 등각 평탄한 다성분에서 비음이 아닌 스칼라 곡률 $ R \geq 0 $ 인 리우빌 추측이 도출됨을 보이는 것.
• 스칼라 곡률 $ R $ 을 주어진 에너지 스칼라 $ \mu - |J| $ 로 대체하여 일반 상대성 이론의 초기 자료 집합에 대해 이러한 결과를 확장하는 것, 최소 초곡면 대신 MOTS를 사용하는 것.
• 최근 쇼도시–리의 작업을 바탕으로 $ (\lambda,\rho) $-수축 가능 조건 하에서, 차원 3과 $ 4 \leq n \leq 6 $ 에서 리우빌 추측을 해결하는 것.

제안 방법

• 최소 초곡면의 수열 $ \{\Sigma_i\} $ 을 구성하고, 최소 초곡면 기법을 사용하여 그들이 국소적으로 $ C^\infty $ 수렴함을 증명한다.
• $ (\lambda,\rho) $-수축 가능 조건을 도입하여, 한계 초곡면 $ \Sigma $ 가 컴팩트임을 보장함으로써, 쇼엔–요의 안정성 논증을 적용할 수 있도록 한다.
• 거의 임베디드 MOTS에 대해 대칭화된 안정성 적용을 통해, $ \mathbb{C} $ 와 위상동형인 비콤팩트 성분이 존재하지 않음을 제거한다. 이는 종수와 호모로지 논증을 사용한다.
• 편향 및 접합 기법을 사용: $ \Sigma_i \cap \hat{Y} $ 를 $ \mathscr{S} $ 에 둘러싸인 디스크를 추가하거나 제거함으로써, 호모로지가 외부로 붕괴하는 $ T^2_+ $ 와 모순되는 종수 0 사이클을 생성한다.
• MOTS에 대한 한쪽 방향 최대원리와, 일관된 면적 및 곡률 유계 조건을 만족하는 거의 임베디드 MOTS 수열에 대한 컴팩트니스 정리를 사용한다.
• 초기 자료 집합 설정에서 스칼라 곡률 $ R $ 을 주어진 에너지 스칼라 $ \mu - |J| $ 로 대체함으로써, 더 넓은 물리적 및 기하 문제의 범주로 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 $ n < 8 $ 인 비콤팩트 다성분에서 $ \mathcal{C}^n \# X^n $ 형태의 완비 계량이 정규 스칼라 곡률 $ R > 0 $ 를 가질 수 있는가?
• RQ2 완비 계량이 $ T^n \# M^n $ 에서 $ R > 0 $ 를 가질 수 없다는 비존재 결과로부터, 국소적으로 등각 평탄한 다성분에서 $ R \geq 0 $ 인 리우빌 추측이 도출되는가?
• RQ3 이러한 비존재 결과를 일반 상대성 이론의 초기 자료 집합으로 확장할 수 있는가? 이 경우 $ R $ 을 주어진 에너지 스칼라 $ \mu - |J| $ 로 대체하는가?
• RQ4 $ (\lambda,\rho) $-수축 가능 조건이 필수적인가, 아니면 모든 $ n < 8 $ 에 대해 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ5 정규 스칼라 곡률 $ R > 0 $ 에 대한 위상적 제약 조건을 사용하여, $ R \geq 0 $ 에 대한 강성 결과(예: 리치 평탄성)를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• $ \mathcal{C}^n \# X^n $ 형태의 다성분은 $ n = 3 $ 이거나, $ M^n $ 이 $ (\lambda,\rho) $-수축 가능일 경우 $ 4 \leq n \leq 7 $ 에서 완비 스무스 계량이 존재하지 않으며, 이 계량의 스칼라 곡률 $ R > 0 $ 이다.
• 이러한 다성분에서 완비 스무스 계량이 존재할 경우, 스칼라 곡률 $ R \geq 0 $ 를 가질 수 있으며, 이 경우 반드시 리치 평탄해야 한다.
• $ T^n \# M^n $ 에서 $ R > 0 $ 가 존재하지 않는다는 비존재 결과로부터, 국소적으로 등각 평탄한 다성분에서 $ R \geq 0 $ 인 리우빌 추측이 도출되며, 이는 $ M^n $ 이 $ (\lambda,\rho) $-수축 가능일 경우 차원 3과 $ 4 \leq n \leq 6 $ 에서 해결된다.
• 최근 쇼도시–리의 작업과 이 논문의 조합으로, 리우빌 추측은 이제 모든 차원 $ n \geq 3 $ 에서 완전히 해결되었다.
• 초기 자료 집합 설정에서 $ R $ 을 $ \mu - |J| $ 로 대체할 경우, 동일한 비존재 결과가 $ \mu - |J| > 0 $ 에 대해 성립하며, 최소 초곡면 대신 MOTS를 사용한다.
• 컴팩트니스 정리에서의 한계 MOTS는 컴팩트(즉, $ S^2 $ 와 위상동형) 또는 비콤팩트(즉, $ \mathbb{C} $ 와 위상동형)일 수 있으나, 위상적 및 기하적 제약 조건으로 인해 후자는 제거된다. 따라서 이러한 성분이 존재할 경우 모순이 발생한다.