[논문 리뷰] Positive semiclassical states for a fractional Schrödinger-Poisson system

Edwin G. Murcia, Gaetano Siciliano|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^N$ 에서의 분수 슈뢰딩거-포아송 시스템에 대해 $e \to 0^+$ 로 갈라지는 양자역학적 한계를 분석하여, 여러 개의 양성 섭동 상태의 존재를 확립한다. 변분 방법과 루지에르니츠-슈니레르만 카테고리 이론을 사용하여, 비선형성과 분수 매개변수에 대한 적절한 조건 하에서 잠재력 $V(x)$ 의 최소값 집합의 카테고리에 의해 양성 해의 수가 아래로 유계임을 증명한다.

ABSTRACT

We consider a fractional Schrödinger-Poisson system in the whole space $\mathbb R^{N}$ in presence of a positive potential and depending on a small positive parameter $\varepsilon.$ We show that, for suitably small $\varepsilon$ (i.e. in the "semiclassical limit") the number of positive solutions is estimated below by the Ljusternick-Schnirelmann category of the set of minima of the potential.

연구 동기 및 목표

• 분수 슈뢰딩거-포아송 시스템에 대한 이중적으로 특이한 섭동이 가해진 $e \to 0^+$ 에서의 양성 해의 존재를 확립한다.
• 양자역학에서 고전역학으로의 전이에 대응하는 $e \to 0^+$ 로 갈라지는 섭동 한계를 분석한다.
• 루지에르니츠-슈니레르만 카테고리 이론을 통해 잠재력 최소값 집합의 위상적 복잡성과 양성 해의 수를 연결한다.
• 비국소적 영역에서의 분수 연산자와 비국소 방정식에 대해 변분 방법을 확장한다.

제안 방법

• 분수 슈뢰딩거-포아송 시스템을 $\varepsilon^{2s}(-\Delta)^s w + V(x)w + \psi w = f(w)$ 와 $\varepsilon^{\theta}(-\Delta)^{\alpha/2}\psi = \gamma_\alpha w^2$ 로 설정한다.
• 에너지 함수 $I_\varepsilon$ 의 임계점을 찾기 위해 네하리 다양체 $\mathcal{N}_\varepsilon$ 에서 변분 방법을 적용한다.
• 해의 농축을 잠재력 최소값 근처에서 추적하기 위해 바리센터 맵 $\beta_\varepsilon(u) = \int \chi(\varepsilon x) u^2 / \int u^2$ 를 사용한다.
• 패럴라이-스말드 조건을 에너지 간격 $(m_{V_0}^{\infty}, m_{V_0}^{\infty} + h(\varepsilon))$ 에서 적용하여 컴actness와 수렴성을 보장한다.
• 호모토피 동치와 변형 추론을 사용하여 잠재력 최소값 집합 $M$ 의 카테고리와 임계점 수 사이의 관계를 설정한다.
• 루지에르니츠-슈니레르만 이론을 적용하여 임계점의 수가 $\operatorname{cat}(M)$ 이상임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 슈뢰딩거-포아송 시스템에서 섭동 한계에서 양성 해는 몇 개인가?
• RQ2 잠재력 최소값 집합의 위상적 불변량을 사용하여 양성 해의 수를 추정할 수 있는가?
• RQ3 분수 라플라시안은 해의 농축과 다중성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 매개변수 $\varepsilon$, $s$, $\alpha$, $\theta$ 는 해의 존재성과 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 어떤 조건에서 관련 에너지 범위에서 패럴라이-스말드 조건이 성립하는가?

주요 결과

• 분수 슈뢰딩거-포아송 시스템의 양성 해의 수는 잠재력 $V(x)$ 의 최소값 집합의 루지에르니츠-슈니레르만 카테고리에 의해 아래로 유계이다.
• 충분히 작은 $\varepsilon > 0$ 에 대해, $M$ 이 $V$ 의 전역 최소값 집합이라면 최소 $\operatorname{cat}(M)$ 개의 양성 해가 존재한다.
• $\varepsilon \to 0^+$ 로 갈수록 해는 $V$ 의 최소값 근처에 농축되며, 바리센터 맵 $\beta_\varepsilon$ 는 균일하게 최소값 집합 $M$ 으로 수렴한다.
• 작은 $\varepsilon$ 에 대해 패럴라이-스말드 조건은 에너지 간격 $(m_{V_0}^{\infty}, m_{V_0}^{\infty} + h(\varepsilon))$ 에서 성립하여 패럴라이-스말드 수열의 수렴성을 보장한다.
• $M$ 이 유계이면서 수축 가능하지 않은 경우, 카테고리 추정을 초월하여 추가적인 해가 존재한다. 이는 네하리 다양체에서 $\Phi_\varepsilon(M)$ 의 이미지가 수축 가능하지 않기 때문이다.
• 이전의 국소적 시스템에 대한 다중성 결과를 비국소적(분수) 슈뢰딩거-포아송 시스템으로 확장하였으며, 위상적 다중성의 구조를 유지한다.