[논문 리뷰] Positive solution of Hilfer fractional differential equations with integral boundary conditions

Mohammed A. Malahi, Mohammed S. ‬Abdo외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 12.

Nonlinear Differential Equations Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정점 정리와 상하해결 기법을 사용하여 적분 경계 조건을 가진 일계 힐러 분수형 미분방정식에 대한 양해의 존재성과 유일성을 확립한다. 존재성은 샤펜더 고정점 정리로, 유일성은 바나흐 수축원리로 증명되며, 비선형 항의 단조성 조건을 요구하지 않는 조건 하에서 이루어진다.

ABSTRACT

In this article, we have interested the study of the existence and uniqueness of positive solutions of the first-order nonlinear Hilfer fractional differential equation \begin{equation*} D_{0^{+}}^{α,β}y(t)=f(t,y(t)), ext{ }0

연구 동기 및 목표

• 적분 경계 조건을 가진 일계 힐러 분수형 미분방정식에 대한 양해의 존재성과 유일성을 조사한다.
• 일반 힐러 도함수를 고려하여 기존 분수형 미분방정식 결과를 확장한다. 이는 리만-리우빌 도함수와 캄프 도함수 사이를 보간하는 것이다.
• 비선형 항에 대한 단조성 조건을 부과하지 않고 존재 기준을 수립한다.
• 가중 연속 함수 공간에서 양해의 존재성과 유일성에 대한 충분 조건을 제공한다.
• 수정 제출 시 포함될 예정인 수치 예제를 통해 이론적 결과의 유효성을 시연한다.

제안 방법

• 힐러 도함수의 정의와 리만-리우빌 분수형 적분을 사용하여 힐러 분수형 미분방정식을 등가의 적분방정식으로 변환한다.
• 가중 공간 $ C_{1-\beta} [0,1] $ 에서 샤펜더 고정점 정리를 적용하여 적어도 하나의 양해가 존재함을 증명한다.
• 상하해결 방법을 사용하여 비선형 항 $ f(t,y(t)) $ 를 위한 제어 함수를 구성함으로써 양성과 유계성을 확보한다.
• 리프시츠 유형 조건과 1보다 작은 수축 상수를 확인하여 바나흐 수축원리 적용으로 유일성을 확립한다.
• 해의 연산자 $ \Delta $ 를 정의하고, 조건 $ \left(\frac{\lambda e}{\Gamma(\gamma)\mu} + \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\right)L_f < 1 $ 하에서 이가 수축 매핑임을 증명한다.
• 바나흐 공간 내 연속 함수의 수렴을 보장하기 위해 가중 노름 $ \|y\|_{C_{1-\gamma}} = \max_{t \in [0,1]} |t^{1-\gamma} y(t)| $ 을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적분 경계 조건을 가진 일계 힐러 분수형 미분방정식이 양해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비선형 항의 단조성 조건을 요구하지 않고 양해의 존재성을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ3 힐러 분수형 미분방정식의 맥락에서 양해의 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 일반 힐러 도함수(리만-리우빌과 캄프 도함수 사이를 보간)는 특수 케이스와 비교해 존재성과 유일성 분석에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 상하해결 방법은 적분 경계 조건을 가진 힐러 유형 분수형 문제에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 문제는 샤펜더 고정점 정리에 의해 가중 공간 $ C_{1-\gamma}[0,1] $ 내에서 적어도 하나의 양해를 갖는다.
• 비선형 항 $ f(t,y) $ 에 대한 단조성 가정을 부과하지 않고 존재 결과를 확보하였으며, 이는 상하해결의 구성에 기반한다.
• 리프시츠 상수 $ L_f $ 가 $ \left(\frac{\lambda e}{\Gamma(\gamma)\mu} + \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\right)L_f < 1 $ 를 만족할 경우 유일한 양해가 존재한다. 이는 해의 연산자가 수축임을 보장한다.
• 해는 리만-리우빌 분수형 적분과 특성에 영향을 주는 매개수 $ \gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha) $ 를 포함한 적분형으로 표현된다.
• 상해결 $ \overline{y}(t) $ 는 $ \frac{d}{\Gamma(\gamma)}t^{\gamma-1} + \frac{A_2}{\Gamma(\alpha+1)}t^{\alpha} $ 로 구성되며, 하해결 $ \underline{y}(t) $ 는 $ \frac{d}{\Gamma(\gamma)}t^{\gamma-1} + \frac{A_1}{\Gamma(\alpha+1)}t^{\alpha} $ 로 구성된다. 둘 다 경계 조건과 미분방정식 조건을 만족한다.
• 분석은 힐러 도함수 프레임워크가 리만-리우빌 및 캄프 케이스를 통합적으로 다룰 수 있음을 확인한다. $ \beta = 0 $ 과 $ \beta = 1 $ 은 각각 해당 극한에 대응한다.